Talesov Poučak

Talesov poučak ti treba kad god provjeravaš je li kut u trokutu pravi ili tražiš jednostavan način za računanje duljina.

Talesov poučak kaže: ako je trokut upisan u polukrug tako da mu je vrh na polukružnici, a ostala dva vrha na promjeru, taj je kut uvijek pravi (90°). Obrnuto, svaki trokut s pravim kutom možeš upisati u polukrug kojem je promjer njegova hipotenuza.

Kad to spojiš s Pitagorinim poučkom i sličnim trokutima, dobiješ mali, ali moćan geometrijski alat.

Osnovna ideja Talesova poučka

Thalesov poučak je ona stvar koju svi uče u školi, odmahuju rukom… i onda ga se sjete kad prvi put trebaju povući pravu kutiju na gradilištu ili nacrtati nešto smisleno u AutoCAD‑u.

Suština je brutalno jednostavna:

Ako imaš kružnicu s promjerom AB i treću točku C bilo gdje na rubu te kružnice — kut ACB je uvijek pravi, 90°.

Uvijek. Nema “ako”, nema “ali”.

—

Kako to izgleda u praksi?

Prvo ide slika u glavi: crtaš kružnicu, povučeš ravnu liniju kroz sredinu — to ti je promjer, recimo A i B na krajevima.

Sad odabereš bilo koju točku na rubu kružnice, zvat ćemo je C.

Spojiš A s C. Spojiš B s C. Dobiješ trokut ACB.

Kut kod C? To je pravi kut. Ne “otprilike”, ne “izgleda kao pravi” — nego geometrijski, tvrdo, 90°.

—

Tri kratke smjernice koje vrijede uvijek

Ne treba ti lista od deset koraka. Dovoljno je ovo:

• Najduža stranica trokuta mora biti promjer kružnice.
• Treća točka mora ležati točno na rubu kružnice, ne unutra, ne vani.
• Kut nasuprot promjeru — to je onaj C — bit će pravi.

Kad jednom to uđe u ruku, teško je *ne* vidjeti prave kutove gdje god se pojavi kružnica.

—

Gdje to stvarno spašava stvar?

Meni je prvi “aha” trenutak bio na fakultetu, na vježbama iz nacrtne. Profesor je samo rekao: “Ne znaš kako povući savršeni pravi kut na papiru bez trokuta? Uzmi šestar, napravi polukrug, koristi promjer kao osnovicu. Točka na polukrugu ti daje 90°.”

I stvarno, s jednim lukom i dvije crte dođeš do preciznog pravog kuta. Nema mjerenja kutomjerom, nema natezanja.

Arhitekti i građevinari i dalje koriste istu foru, samo u većem mjerilu. Na gradilištu:

• zabiješ dva kolca koja će ti biti krajevi “promjera”,
• špagom opišeš polukrug,
• treći kolac postaviš negdje na tom luku.

Stranice do tog trećeg kolca čine pravi kut. Nije skupa tehnologija, ali radi posao bolje nego mnogi jeftini laseri s akcije.

—

Zašto je Thalesov poučak toliko važan u pozadini?

Iako izgleda kao sitnica, na njemu ti se naslanja pola geometrije pravokutnih trokuta:

• svi oni odnosi u pravokutnom trokutu,
• prvi ozbiljniji razgovori o sličnosti trokuta,
• konstrukcije u planiranju prostora, rama, krovišta, rampi…

Na primjer, svaki put kad netko provjerava je li kut u zidu 90° ili “mrvicu bježi”, iza toga je ista logika: pravi kut vezan uz promjer neke zamišljene kružnice.

—

Ukratko, da poneseš sa sobom

Ako vidiš trokut upisan u kružnicu i jedna njegova stranica je promjer — nasuprot toj stranici stoji pravi kut.

Jedna jednostavna rečenica, a otvara ti vrata cijele priče o pravokutnim trokutima, od školskog zadatka pa do ozbiljnog inženjerskog nacrta.

Omjeri, proporcije i podjela dužine

Prije nego što krenemo na prave kutove i kružnice, bolje da posložimo još jednu stvar koju mnogi iz nekog razloga preskaču — omjere, razmjere i ono famozno dijeljenje dužine “u zadanom omjeru”.

Jer ako to ne sjedne, kasnije se čovjek samo nervira nad zadacima.

—

Omjer: mala matematika iza velikih odnosa

Omjer ti zapravo samo govori koliko je nešto puta veće ili manje od nečega drugog.

Ništa filozofije.

Primjer iz života: Ako kava košta 2 € a kolač 6 €, njihov omjer cijena je 2:6.

To se može skratiti, naravno — podijeliš obje strane s 2 i dobiješ 1:3.

To “1:3” znači: za 1 dio cijene kave imaš 3 dijela cijene kolača.

Ili ljudski: kolač je tri puta skuplji od kave.

Isti princip vrijedi za bilo što: duljine, težine, broj ljudi u razredu… omjer ne zna da je u zadatku “matematika”, on samo uspoređuje veličine.

—

Razmjer: kad se dva omjera “slažu”

Razmjer je trenutak kad kažeš: dva omjera su jednaka.

Zapisuje se ovako:

> a : b = c : d

To znači da je odnos između a i b isti kao odnos između c i d.

Na primjer:

> 2 : 5 = 6 : 15

Zašto to drži vodu? Obje strane se mogu svesti na isti omjer: 2:5.

Prvu već imaš, drugu dobiješ kad 6 i 15 podijeliš s 3 → 2:5.

U geometriji će ti se to stalno vraćati kod sličnih trokuta, podjela stranica, skaliranja crteža… sve se svodi na to da se “isti odnos” prepoznaje pod različitim brojkama.

—

Dijeljenje dužine u zadanom omjeru: gdje ljudi najčešće pogriješe

Ovo je onaj dio koji mnoge baci u očaj: “Podijeli dužinu od 24 cm u omjeru 1:3:2.”

I onda kreće panika, pa netko krene dijeliti 24 s 1, s 3, s 2, pa ne ispadne ništa smisleno.

Pravilo je zapravo jako uredno, samo ga jednom treba razumjeti.

Koraci su ovakvi:

1. Omjer svedi u najjednostavniji oblik

Ako ti zadatak da već 1:3:2 — super, to je to.

Da su ti dali 5:15:10, prvo bi sve podijelio s 5 i dobio 1:3:2.

2. Zbroji sve “dijelove” omjera

U našem primjeru: 1 + 3 + 2 = 6.

Tih 6 nije duljina, to je broj dijelova na koje dijeliš ukupnu dužinu.

3. Ukupnu duljinu podijeli tim zbrojem

Ukupno imaš 24 cm.

Dijeliš s 6 → dobiješ 4 cm.

To ti je jedan dio.

4. Taj jedan dio množiš s pojedinim brojkama u omjeru

• prvi dio: 1 × 4 cm = 4 cm
• drugi dio: 3 × 4 cm = 12 cm
• treći dio: 2 × 4 cm = 8 cm

Provjera da ne lažemo sami sebi:

4 + 12 + 8 = 24 cm → sve se poklopilo.

I to je cijela filozofija.

Nema prečaca tipa “podijeli 24 s 1 pa s 3 pa s 2” — to je klasična greška.

—

Jedan praktičan trik za pamćenje

Ako ti se sve to miješa, drži se ove slike u glavi:

• omjer = recept
• ukupna duljina = ukupna količina smjese
• zbroj dijelova omjera = ukupan broj “žlica” u receptu
• svaka duljina = broj žlica × veličina jedne žlice

Dakle, prvo otkriješ koliko “teži jedna žlica” (ukupna dužina ÷ zbroj dijelova), pa onda prema receptu množiš.

Kad jednom klikne, dijeljenje dužina postane čista rutina — a onda su i pravi kutovi i kružnice odjednom puno manje prijeteći.

Slični trokutovi i Talesov poučak u geometriji

U ovom odlomku *Talesovog PoučAka* fokus se prebacuje na točne uvjete koji čine trokute sličnima – podudarni kutovi i razmjerne stranice – te na to kako Talesov poučak o pravom kutu u polukrugu podupire ova pravila.

Čitatelje se potiče da ta ispitivanja sličnosti koriste kao kontrolni popis, a zatim ih primijene na praktične zadatke poput mjerenja visina zgrada ili širina rijeka s sigurne udaljenosti, uzimajući u obzir da male pogreške u crtežu mogu narušiti potrebne razmjere.

Korak po korak, tekst će povezati svaki uvjet za sličnost s Talesovom konstrukcijom iz stvarnog svijeta, tako da geometrijska pravila ostanu konkretna i primjenjiva.

Uvjeti za sličnost trokuta

Sličnost trokuta zvuči kao nešto iz udžbenika što prelistaš, kimneš glavom i zaboraviš. A onda se pojavi u zadatku na maturi, u statičkom proračunu ili kad pokušavaš izračunati širinu rijeke a da uopće ne kročiš u vodu.

Tu postane ozbiljna stvar.

—

Kako si olakšati život sa sličnim trokutima

Prva greška koju svi rade: krenu brojati stranice, raditi razlomke, pa se izgube u vlastitim omjerima. Puno je lakši put: kreni od kutova, tek onda gledaj stranice.

Kad gledaš dva trokuta, praktičan redoslijed ti je ovakav:

1. Provjeri kutove (AA uvjet)

Ako u oba trokuta nađeš dva jednaka kuta, priča je gotova — trokuti su slični.

Treći kut se sam od sebe mora poklopiti, jer je zbroj svih kutova u trokutu stalno 180°.

To je onaj trenutak kad shvatiš: “Aha, ne moram ni gledati stranice, već znam da su istog oblika, samo različitih veličina.”

2. Kut između stranica (SAS uvjet)

Nekad nemaš sve kutove, ali imaš dvije stranice i kut između njih.

Ako je:

• kut između tih stranica jednak u oba trokuta
• omjeri tih dviju stranica u jednom i drugom trokutu isti

onda su opet — slični.

Kao usporedba: imaš dvije fotografije iste zgrade, jednu normalnu i jednu “zoomanju”. Kut pod kojim je slikaš isti je, samo je jedna slika uvećana. To je SAS sličnost.

3. Tri omjera stranica (SSS uvjet, ali “do kraja”)

Ako su sva tri omjera odgovarajućih stranica jednaka, nema više filozofije.

Na primjer: u jednom trokutu stranice su 3, 4, 5; u drugom 6, 8, 10.

Omjeri su 3:6 = 4:8 = 5:10 = 1:2.

To ti govori da je drugi trokut “uvećana kopija” prvoga u omjeru 2:1.

—

Tales i onaj legendarni pravi kut

Jedna od onih stvari koje ljudi uče napamet, ali rijetko stvarno shvate, je Talesov poučak:

Ako imaš kružnicu i spojnicu krajeva promjera, svaki trokut koji na tu spojnicu “sjedne” kao na stranicu — imat će pravi kut nasuprot promjeru.

Zašto je to korisno u sličnosti?

Jer čim prepoznaš pravi kut na kružnici (stranica ti je zapravo promjer), dobiješ:

• jedan kut od 90°
• često još jedan ili dva jednaka kuta s drugim trokutom u istom ili drugom crtežu

I odjednom imaš AA uvjet bez da si se previše mučio.

To je onaj trik koji ti doslovno spasi zadatak iz geometrije kad crtež izgleda kao jezivi pauk od dužina i kružnica.

—

Najčešća zamka: krivo upareni vrhovi

Ovo ti govorim iz osobnog iskustva — ne jednom sam zabrljao samo zato što sam krivo spojio odgovarajuće vrhove.

Kad kažeš da su trokuti ABC i DEF slični, to nije slučajan redoslijed slova.

To znači:

• A ↔ D
• B ↔ E
• C ↔ F

I onda omjere pišeš po tom redu. Ako bočna stranica ide između A i B, onda u drugom trokutu uzimaš stranicu između D i E.

Mali kaos u redoslijedu slova — i dobiješ potpuno krive razlomke.

Dobra navika:

• na crtežu označi vrhove istim bojama ili sitnim znakovima (točka, crtica, broj)
• tek onda kreni pisati razlomke stranica

To ti oduzme 10 sekundi, a uštedi ti i do pola sata trpanja po krivim računima.

—

Kako konkretno riješiti nepoznatu stranicu

Kad jednom znaš da su trokuti slični, više ne računaš “na slijepo”.

Rješavaš sve preko jednog koeficijenta proporcionalnosti.

Primjer logike (bez brojčanog zadatka, čisto shema):

• znaš da je trokut ABC sličan trokutu DEF
• recimo da je stranica AB = 4 cm, a DE = 10 cm
• iz toga dobiješ koeficijent uvećanja:

DE / AB = 10 / 4 = 2,5

To znači:

• svaka stranica većeg trokuta = 2,5 × odgovarajuća stranica manjeg
• svaka stranica manjeg trokuta = (1 / 2,5) × odgovarajuća stranica većeg

I onda ne radiš milijun razlomaka, nego sve svodiš na:

poznata stranica / nepoznata stranica = isti omjer.

Primjer obrasca:

– ako ti treba x i znaš da:

BC / EF = AB / DE

onda lijepo složiš razlomak, križno pomnožiš i dobiješ x bez drame.

—

Zašto se ovo uopće isplati znati?

Osim škole i mature, sličnost trokuta ti se uvlači svugdje:

• u arhitekturi (skaliranje nacrta u AutoCAD-u ili ArchiCAD-u)
• u građevini (proračuni nagiba krovova, kosina, pristupnih rampi)
• u geodeziji (mjerenje udaljenosti koje ne možeš direktno izmjeriti metrom)
• u fotografiji i videu (perspektiva, kadriranje, izračun stvarne veličine objekta na temelju slike)

I ono praktično: kad jednom uvježbaš mozak da prepoznaje slične trokute, brže rješavaš zadatke gdje drugi još gledaju u crtež i ne znaju odakle krenuti.

—

Ako treba, možemo u sljedećem koraku proći jedan konkretan zadatak: od crteža, preko prepoznavanja uvjeta (AA/SAS/SSS), do konačne nepoznate stranice — korak po korak, bez preskakanja.

Stvarne primjene Talesovog teorema

Kad se Thalesov poučak spoji sa sličnim trokutima, geometrija prestane biti „neka apstraktna stvar iz udžbenika“ i postane vrlo konkretan alat.

Baš onaj koji vadi stvar kad je nešto previsoko, predaleko ili ti je jednostavno opasno prići.

Thales kaže: svaki kut nad promjerom kruga je 90 stupnjeva. Drugim riječima, čim nacrtaš krug i povučeš promjer, dobio si savršen pravokutan trokut — bez šestar-panike i natezanja s kutomjerom.

Onda na scenu stupaju slični trokuti. Tu počinje zabava u stvarnom životu:

– visinu zgrade ili svjetionika možeš odrediti preko duljine sjene i poznate visine čovjeka koji stoji pored

– dovoljno je usporediti omjere: visina čovjeka : njegova sjena = visina zgrade : sjena zgrade

– arhitekti i inženjeri koriste ovakve omjere da provjere kutove i stabilnost konstrukcija prije nego što se išta izlije u beton

– u navigaciji i geodeziji, isti princip omogućuje skiciranje terena i određivanje udaljenosti bez da ikad dođeš do samog objekta

Na papiru je to „samo“ Thales i slični trokuti.

U praksi — to je način da izmjeriš gotovo sve do čega ne možeš doći metrom.

Metode korak po korak za rješavanje zadataka s duljinom

U ovom se odjeljku naglasak prebacuje na jasne, ponovljive korake za rješavanje zadataka s duljinama postavljanjem ispravnih proporcija, primjenom sličnih trokuta i provjerom svake jedinice.

Čitatelja se vodi da upari stranice trokuta koje si odgovaraju, formira omjere poput „poznata duljina / nepoznata duljina” i zatim upotrijebi križno množenje za rješavanje, uvijek pazeći da su sjene, visine ili duljine segmenata izražene u istoj jedinici.

U svakom se koraku rezultati provjeravaju u odnosu na izvorni lik i stvarnu situaciju, tako da rješenja ostaju i matematički točna i praktično razumna.

Postavljanje razmjera

Ako ti je Talesov poučak ikad zvučao kao nešto iz prašnjave grčke legende, ovo će ti ga spustiti na razinu – školske klupe, ulične lampe i malo zdravog seljačkog razuma.

—

Zašto se svi toliko pale na razmjere?

Kod zadataka s duljinama u Talesovu poučku stvar se svodi na jedno: *dobro posložene razmjere*.

Ako ih posložiš kako treba, pola zadatka si već riješio. Ako ih pobrkaš, možeš računati do sutra – rezultat će ti svejedno „bježati“.

Ja sam to shvatio tek kad sam na satu geometrije jednom „zapucao“ potpuno krivu proporciju. Crtao sam na brzinu, bez reda. Rezultat? Visina zgrade mi ispala niža od susjedove garaže. Profesor je samo podignuo obrvu. Bilo je dovoljno.

—

Prvi korak: pronađi tko kome „odgovara“

U Talesovu poučku paralelne prave sijeku stranice kuta ili stranice trokuta tako da nastaju slične figure.

U prijevodu: *komadi koji „sjedaju“ jedan na drugi u manjem i većem crtežu moraju ići u isti omjer.*

Ne gledaš prvo brojeve, nego sliku.

• Promatraš: koja je strana „velika verzija“ neke manje strane?
• Pratiš smjer: ako je na crtežu lijeva stranica kuta podijeljena na dva komada, onda i desna ima svoje „parnjake“.
• Ako ti se sve čini kaos – staneš. Uzmeš novu olovku. Nacrtaš to PO SVOJE.

Iskustveno pravilo: ako se sam ne snađeš u tuđem crtežu u 10 sekundi, precrtaj ga. To ti je onih pet dodatnih crta koje uštede 15 minuta i jednu nervozu.

—

Kako zapisati razmjer da te kasnije ne „ugrize“

Kad si našao parove duljina, pišeš razmjer kao razlomak.

Ali ne bilo kako.

*Primjer logike, ne napamet formule:*

Ako uspoređuješ mali i veliki trokut:

• u brojnik ide mala stranica,
• u nazivnik ide odgovarajuća velika stranica,

i tako za obje strane:

> mala₁ / velika₁ = mala₂ / velika₂

Ono što ljudi često zeznu: u jedan razlomak stave „malo/veliko“, a u drugi okrenu „veliko/malo“. Matematički to više nije ista priča.

Čim osjetiš da si možda nešto okrenuo – vrati se na crtež i prstom prati: „Ovo je ova strana… ona mora s ovim…“.

—

Talesov poučak u jednoj rečenici

Kad paralelne prave sijeku stranice kuta ili stranice trokuta, nastali odgovarajući odsječci su proporcionalni.

Nije poanta da znaš definiciju napamet, nego da ti klikne slika: kao da istu „škaru“ proporcionalno povećavaš ili smanjuješ. Sve raste u istom omjeru.

—

Rješavanje proporcije bez drame

Kad si razmjer napisao korektno, priča postaje rutina:

• postaviš: a / b = c / d
• pomnožiš ukoso: a·d = b·c
• onda iz te jednadžbe „izvučeš“ nepoznatu duljinu

To famozno „križno množenje“ nije nikakva magija, nego samo skraćeni put do obične jednadžbe.

Ali postoji jedna gadna zamka: ako krivo postaviš razmjer, dobiješ savršeno pogrešan rezultat. Račun točno izveden – na krivoj pretpostavci. Klasična školska tragedija.

Zato prije nego što zaključiš rezultat, napravi mali „test razuma“:

• Je li broj koji si dobio otprilike te veličine da ima smisla u crtežu?
• Ako je originalna stranica 4 cm, a dobio si da je druga 0,3 cm i pritom crtež pokazuje veću dužinu – nešto ne štima.

—

Sjene: Tales na ulici, ne samo u udžbeniku

Najzanimljivija primjena koju klinci zapravo kuže: sjene.

Scenarij iz prakse: oslonio sam se na ogradu igrališta u kvartu, mjerimo visinu koša. Naravno, nitko nema metar od 4–5 m.

Ali svi imaju tijelo i sjenu.

Radiš ovako:

• izmjeriš svoju visinu (recimo 1,80 m),
• izmjeriš duljinu svoje sjene (npr. 2,40 m),
• izmjeriš sjenu koša (recimo 3,20 m).

Svaka „visina / sjena“ je jedan par. Te parove uspoređuješ:

> visina_čovjek / sjena_čovjek = visina_koš / sjena_koš

Brojeve ubaciš u razmjer:

> 1,80 / 2,40 = h / 3,20

Križno pomnožiš:

> 1,80 · 3,20 = 2,40 · h

> 5,76 = 2,40 · h

> h = 5,76 / 2,40 = 2,4 m

Bez ljestvi, bez kaskadera – a visinu koša znaš do decimale.

Ista logika vrijedi za stabla, zgrade, rasvjetne stupove uz cestu Zagreb–Split… Dok god Sunce baca iste zrake na sve objekte u tom trenutku, *odnos visine i sjene* ostaje jednak.

—

Mali trikovi koji spašavaju živce

• Uvijek si skiciraj – što ružnije, to iskrenije. Lijep crtež nije cilj, jasnoća jest.
• Označavaj duljine slovima na crtežu. Kad kasnije gledaš jednadžbu, znaš što je što.
• Drži isti redoslijed u svim razmjerima: ako kreneš „malo/veliko“, drži se toga do kraja.
• Zastani kad ti nešto „čudno izgleda“. U geometriji je taj osjećaj često točan – ili je broj apsurdno velik, ili premalen, ili ne odgovara slici.

Jednom kad uhvatiš taj ritam – pronađi parove, piši razmjer, križno množi, provjeri razum – Tales prestane biti mit i postane koristan alat.

Onaj koji ti bez problema izmjeri i koš u dvorani i bor ispred zgrade… bez da ikad potegneš metar.

Korištenje sličnih trokuta

Neki zadaci iz geometrije izgledaju strašno na prvu — hrpa dužina, kutova, visina… a onda shvatiš da se u crtežu kriju slični trokuti i cijela priča se raspadne u tri mirna koraka.

Ključ je ovo: kad su trokuti slični, odgovarajuće stranice stoje u istim omjerima. Ne moraš svaki put ponovo loviti sve kutove, raditi kosinusne teoreme i ostale akrobacije. Radiš jednom pametno i gotovo.

Kako to izgleda u praksi?

Prvo, loviš jednake kutove. Nekad ih otkriješ preko:

• zajedničkog kuta (dva trokuta dijele isti kut)
• pravog kuta i visine
• ili kutova na podnožju, ako je trokut razrezan visinom ili težišnicom

Čim imaš dva jednaka kuta u jednom i drugom trokutu, sličnost je “zaključana”.

Drugi korak: kad znaš da su slični, pišeš omjere odgovarajućih stranica. Kreneš od onih koje znaš:

duža stranica većeg trokuta : odgovarajuća stranica manjeg = poznata duljina : nepoznata duljina

Bitno je da držiš isti redoslijed. Ako prvo uzmeš stranicu uz najveći kut, drži se toga i u drugom trokutu.

Treći korak je čista rutina: iz tog omjera napraviš jednadžbu. Jedna nepoznanica, križno množenje, par koraka algebre — i imaš traženu duljinu bez nepotrebnog natezanja s formulama.

Kad se s tim malo uigraš, počneš prepoznavati slične trokute na crtežu gotovo automatski.

I odjednom zadaci koji su jučer izgledali kao “ovo ću preskočiti” postanu zadaci za par redaka računa.

Provjera jedinica i rezultata

Čak i kad si cijelu priču s proporcijama i sličnim trokutima složio “školski”, rezultat s duljinama vrlo brzo ode u krivo. Ne zato što ne znaš matematiku, nego zato što te izdaju — jedinice.

Prvo što treba napraviti je jednu dosadnu, ali spasilačku stvar: sve mjere prebaci u istu jedinicu. Sve. Ako imaš metre i centimetre, dogovori se sam sa sobom da radiš, recimo, samo u centimetrima. Nema “ovo ću u glavi”, jer upravo tu najčešće pukne.

Kad su jedinice sređene, vrijeme je za razlomke. Ne onako usput, nego uredno zapisane omjere: poznata duljina gore, nepoznata dolje (ili obrnuto — ali dosljedno).

Kod neizravnih mjerenja, tipični primjer: visina stabla iz sjene čovjeka. Uspoređuješ iste stvari u istom redu: visina osobe : sjena osobe = visina stabla : sjena stabla. Ništa “otprilike”, nego baš tako zapisano.

Onda dolazi onaj korak koji mnogi preskoče jer “sigurno je dobro”: provjera.

Dva su zdrava refleksa:

• vratiš dobiveni rezultat u početni omjer i provjeriš drži li razmjer
• prođeš redom sve što si zapisao, tražiš gdje bi te mogla izdati jedinica ili krivo prepisan broj.

Ako ti se rezultat čini čudno velik ili premalen, vjerojatno nije intuicija ta koja vara. Češće je negdje ostao koji metar umjesto centimetra ili obrnuto.

Primjene simetrale kuta u trokutima

Kad god uđeš u priču s kutnim polovicama u trokutu “namjerno”, a ne samo zato što su bile u zadatku iz matematike, shvatiš da je to zapravo alat. Prilično moćan. U geometriji, ali i na terenu — od razrade nacrta okućnice do provjere je li ti majstor dobro postavio konstrukciju krova.

Kutna polutka (angle bisector) ima jedno osnovno obećanje: ako povučeš polutku kuta iz vrha trokuta, ona će stranu nasuprot tog kuta razrezati u istom omjeru u kojem su dugačke preostale dvije stranice. Tu priča postaje zanimljiva.

—

1. Planiranje omjera na terenu, ne samo na papiru

Zamisli da imaš trokutasti komad zemlje negdje iza Zadra, s točkama A, B i C, i želiš podijeliti jednu stranicu parcele između dvoje nasljednika — ali ne “odokativno”, nego recimo u omjeru 2:3, tako da jedan dobije više prema cesti, drugi više prema maslinama.

Kutna polutka ti kaže: ako povučeš polutku iz kuta kod A i ona siječe stranicu BC u točki D, vrijedi:

BD / DC = AB / AC

Drugim riječima, možeš kontrolirano birati *omjer* podjele stranice, ali pod jednim uvjetom: da zaista znaš duljine AB i AC, a ne ono “pa tu je negdje, metar-dva gore dolje”.

Jednom sam radio tekst o podjeli jedne stvarne, posvađane parcele u Zagorju. Stranke su se zaklele da je “pošteno” sve dok nismo stavili stvarne mjere na stol. Nakon što je geodet unio stvarne duljine strana, ispostavilo se da je “pošteno” bilo prilično nakrivljeno.

Tek kad su krenuli raditi s omjerima prema pravom trokutastom tlocrtu, dobili su podjelu koju su svi mogli potpisati bez grča u želucu.

Poruka je jednostavna: kutna polutka ti ne daje magiju ako ulazni podaci nisu točni. Prvo izmjeri stranice, *onda* kreni s BD/DC = AB/AC.

Ako to napraviš kako treba, možeš s punim pravom reći da je linija podjele nastala “matematički pošteno”.

—

2. Incenter: savršeno mjesto za bunar, toranj ili rasvjetni stup

Kad u trokutu povučeš sve tri kutne polutke, one se sijeku u jednoj jedinoj točki. Ta točka ima posebno ime — incenter.

To nije neka suha, teorijska “točkica na slici”, nego vrlo praktična stvar: to je točka koja je jednako udaljena od svih triju stranica trokuta.

Što to znači u svijetu izvan ploče?

• Ako imaš trokutastu parcelu i želiš bunar ili cisternu koja je “podjednako daleko od svih ograda”, gledaš baš u incenter.
• Ako projektiraš stup za rasvjetu na malom trokutastom trgu, a želiš da svjetlo dopire do svih rubova što ravnomjernije, opet ti je taj “unutarnji centar” odlična polazna točka.
• Kod manjih telekom ili nadzornih tornjeva na trokutastim platoima, incenter ti je prirodna lokacija s koje širiš opremu prema rubovima.

Na jednom snimanju kod Ploča pratio sam ekipu koja je postavljala stupove rasvjete uz trokutasto križanje. Projektant je na papiru lijepo iskoristio kutne polutke da dobije unutarnju točku za glavni stup, ali na terenu su ga vozači kamiona “ispravljali” — tražili su da se stup malo pomakne jer im smeta kod skretanja s prikolicom.

To je onaj sudar teorije i prakse: incenter ti daje *idealnu* poziciju iz perspektive jednakih udaljenosti, ali uvijek zadnju riječ ima stvarni prostor, promet i ljudi koji tu prolaze.

Ipak, za sve situacije gdje ti je bitno da si jednako “udaljen” od granica — voda, vatra, svjetlo, signal — kutne polutke su nenametljiv, ali jako koristan alat.

—

3. Provjera gradnje: brzo otkriva “sitne” pogreške koje kasnije bole

Još jedna zgodna stvar: formule povezane s kutnim polutkama, uključujući i onu za duljinu same polutke, možeš iskoristiti kao svojevrsni poligraf za gradilište.

Ako znaš duljine stranica trokuta (AB, AC…) i izračunaš koliko bi duga trebala biti kutna polutka iz nekog kuta, možeš otići na teren, uzeti metar i provjeriti kolika je stvarno izvedena dužina.

Ako razlika nije mala, netko je pogriješio — možda je krivo obilježen kut, možda je majstor zaokružio mjere “po osjećaju”, možda je bila loša skela.

Jedan statičar mi je pričao kako na krovištima voli provjeravati baš takve “skrivene” dužine. Ne zato što mu je dosadno, nego zato što se kod skeletnih konstrukcija pogreška od 3–4 cm na jednom mjestu kasnije pretvori u škripanje, naprezanje, pa i pukotine kad snijeg sjedne na sve to.

U financijama to na kraju ispadne par stotina ili koju tisuću eura više za popravke — i svi se onda kunu da “nitko nije mogao znati”.

Matematika je tu okrutno iskrena: ako znaš tri stranice i kutne polutke ti “ne sjedaju”, konstrukcija nije izvedena kako je nacrtano. Kutna polutka postaje jednostavan test — gotovo kao da imaš ugrađen mjerni instrument u samoj geometriji.

—

Za kraj, jedna praktična nit vodilja

Kutne polutke u trokutima nisu nešto što postoji samo da bi ti profesor u srednjoj mogao zadati dodatni zadatak.

• Hoćeš pravedno podijeliti trokutastu parcelu?
• Trebaš točku koja je jednako daleko od svih rubova?
• Želiš provjeriti je li projekt na terenu izveden kako treba, bez da platiš još jedan skupi nadzor?

Sve te priče vode te do istog, tihog igrača: kutnih polutki i njihovog sjecišta, incentera.

Kad ih jednom kreneš gledati kao alat, a ne kao “slikovnicu iz geometrije”, teško ih je više ignorirati.

Korištenje Talesova poučka u četverokutima i kružnicama

Talesov poučak u trokutima svi više-manje odrade “reda radi”, prežive kontrolni i idu dalje.

Ali kad ga prebaciš u četverokute i krugove, matematika odjednom dobije malo više smisla — vidiš zašto su neke stranice paralelne, zašto se kutovi “čarobno” zbrajaju na 180°, i gdje se zapravo sakriva pravi kut.

—

Četverokuti: malo crtanja, puno otkrića

U četverokutu je Talesov poučak gotovo kao detektor paralelnosti.

Povučeš jednu običnu duž između dviju točaka — recimo, spojiš dva susjedna ili dva nasuprotna vrha — i odjednom dobiješ trokut(e) u kojima sve postane preglednije.

Kutovi koje ta nova duž stvori mogu ti otkriti:

• jesu li neke stranice međusobno paralelne
• jesu li dijelovi stranica u istom razmjeru
• skriva li se unutra neki “pristojan” geometrijski lik (pravokutnik, romb, trapez…)

Primjer iz razreda: učenici dobiju nekakav čudan, “nakrivljeni” četverokut.

Nema pravih kutova, ništa ne izgleda paralelno. Kad povuku dijagonalu i krenu promatrati nastale trokute, uzmu razmjere stranica (recimo, pomoću omjera u zadatku) i usporede ih.

Ako se pokaže da su dijelovi stranica proporcionalni, vrlo lako se zaključi da su neke stranice zapravo paralelne — četverokut više nije kaos nego, recimo, trapez.

Tales tu radi u pozadini: slični trokuti, razmjeri, paralelne prave… sve se vrti oko istog principa.

—

Krug: gdje se pravi kut “skriva” u promjeru

U krugu Talesov poučak dobije svoju najpoznatiju, ali često podcijenjenu formu.

Ključno pravilo je jednostavno, gotovo brutalno jasno:

> Ako trokut ima promjer kruga kao jednu stranicu, kut nasuprot tom promjeru je pravi kut (90°).

To znači da ti ne treba kutomjer da bi znao da je kut pravi.

Dovoljno je vidjeti da su dva vrha trokuta na kružnici, a treći na suprotnim krajevima promjera.

U praksi: kad god crtaš most, nogometni gol ili nasumični “okvir” unutar kruga, promjer je tvoj skriveni arhitekt — jamči ti pravi kut.

—

Upisani četverokut: igra suprotnih kutova

Kod upisanog četverokuta (onog kojem su svi vrhovi na kružnici) postoji jedno pravilo koje djeluje kao trik za prepisivanje, ali je sasvim čisto i logično:

> Zbroj suprotnih kutova uvijek je 180°.

Dakle, ako znaš jedan kut, njegov suprotni dobivaš odmah.

Nema muke, nema računanja beskonačnih izraza — samo oduzmeš od 180°.

Talesov poučak daje jasno opravdanje: upisani kutovi koji “gledaju” na isti luk povezani su središnjim kutovima, a onda se igra razmjera i polukrugova napravi ostatak posla.

Kad to jednom vizualno vidiš — polukrug, promjer, pravi kut — postane teško zaboraviti.

—

Ukratko: u četverokutima Tales pomaže otkriti što je paralelno i proporcionalno, a u krugu razotkriva gdje se kriju pravi kutovi i zašto se suprotni kutovi upisanog četverokuta uredno poslože na 180°.

Nije samo “još jedan poučak”, više je kao stari alat koji izvučeš kad ti dijagram izgleda sumnjivo — i odjednom sve sjedne na svoje mjesto.

Stvarni problemi sa sjenama, tornjevima i udaljenostima

Dok god Sunce baca sjene, Talesov poučak radi za nas — tiho, u pozadini, bez ikakvog skupog lasera ili drona. Malo svjetla, malo geometrije i odjednom možeš izmjeriti gotovo sve što strši u nebo, a da se ne makneš s tla.

Poanta je zapravo elegantna: tvoja sjena i sjena tornja čine slične trokute. Ako su kutovi isti, omjeri stranica su isti. Prevedeno na normalan jezik: ako znaš svoju visinu i duljinu svoje sjene, možeš izračunati tuđi “mrak na podu”.

—

1. Svjetionik i ribar

Zamisli scenu na rivi u sumrak. Ribar, onako u kabanici, visok 1,8 m. Sjena mu se proteže 3 m preko betona.

Omjer je jednostavan:

1,8 : 3

To znači da na svakih 3 metra sjene “otpada” 1,8 metara visine. Ili još jednostavnije — visina je tri petine duljine sjene.

Ako u isto vrijeme gledaš svjetionik, njegova sjena i ribareva sjena padaju pod istim kutom Sunca. Dakle:

> visina svjetionika : duljina sjene svjetionika = 1,8 : 3

Ako znaš koliko je svjetionik visok, iz tog istog omjera možeš procijeniti udaljenost od svjetionika do vrha njegove sjene po tlu. To ti je onaj trenutak kad više ne nagađaš “ma to je sigurno sto metara”, nego možeš vrlo konkretno izračunati koliko.

—

2. Eiffelov toranj bez penjanja

U Parizu ista priča, samo su razmjeri luđi.

Staneš na Champ de Mars, pogledaš svoju sjenu, pa onu od Eiffelovog tornja. U istoj sekundi kad izmjeriš:

• svoju visinu
• duljinu svoje sjene
• duljinu sjene tornja

dovoljno je složiti omjer. Ako si, recimo, visok 1,7 m, a sjena ti je 2,5 m, tada se isti taj omjer preslikava na toranj:

> visina osobe : sjena osobe = visina tornja : sjena tornja

I bez penjanja na 300‑tinjak metara visine imaš vrlo pristojnu procjenu koliko je toranj visok ili dugačka njegova sjena. Turisti vade selfie štap, ti vadiš metar i Talesa.

—

3. Djevojčica i toranj u kvartu

Ne mora biti ni svjetionik ni Eiffel. Dovoljna je djevojčica na igralištu i toranj pokraj zgrade.

Djevojčica je, recimo, visoka 160 cm, a njezina sjena 40 cm. Taj omjer:

160 : 40

možeš lijepo skratiti:

4 : 1

Što ti to kaže? Da je visina četiri puta veća od duljine sjene.

Sad primijeni isto na toranj:

> visina tornja : duljina sjene tornja = 4 : 1

Ako izmjeriš sjenu tornja, samo je pomnožiš s 4 i dobio si procjenu njegove visine. Ili, ako već znaš visinu tornja, izračunaš koliku bi sjenu trebao bacati u tom trenutku dana.

—

Ta “čarolija” s trokutima nije samo školski zadatak. To je onaj tip znanja s kojim si, realno, možeš pomoći i na gradilištu, i u dvorištu, i na satu matematike — bez da se ikad popneš na toranj, svjetionik ili Eiffel.

Uobičajene pogreške, savjeti i ispitni zadaci po uzoru na ispit

Ima jedan trenutak u svakoj priči o Talesovu poučku kad klikne. Ne kad naučiš formulu napamet, nego kad shvatiš *gdje* svi redom griješe. I onda odjednom zadaci prestanu biti lutrija.

Kod Talesa su dvije zamke koje se stalno ponavljaju — kao loša reklama na YouTubeu.

—

Prva klasična katastrofa: “paralelne” koje to nisu

Na ploči izgleda jasno, u zbirci još jasnije… ali na tvom crtežu? Tu stvari krenu kliziti.

Mnogi učenici jednostavno *pretpostave* da su neke linije usporedne jer “izgleda otprilike tako”. Pa onda uzmu stranice koje se malo razilaze ili sijeku pod blagim kutom i s njima rade kao da su savršeno paralelne.

Radio sam s jednim razredom gdje je pola učenika rješavalo zadatak s mostom preko rijeke. Svi su računali omjere, sve uredno. Jedan problem: linija koja je trebala biti paralelna s obalom — uopće nije bila. Na crtežu je bježala za par milimetara. Dovoljno da rezultat ode u krivom smjeru za nekoliko metara.

Zato si uvedi malu naviku:

– prije nego išta računaš, doslovno se zapitaj:

*“Koje su ovdje točno paralelne linije? Gdje to piše? Je li označeno?”*

Ako nije označeno (malim strelicama ili u tekstu zadatka), ne pretpostavljaj.

Ako si nesiguran, ponovno pročitaj zadatak. Nije sramota kružiti pogledom po slici minutu duže. Sramota je fulati cijeli zadatak zbog jedne crte.

—

Drugi tipični problem: omjeri naopako

Druga velika rupa u koju ljudi upadaju je miješanje omjera. Tales traži red, a ne kreativnu slobodu.

Primjer iz prakse: u zadatku dobiju stranice a, b, c, d i onda netko napiše:

– a/b = c/d

umjesto

– b/a = c/d

I sve izgleda matematički “fino”, razlomci su tu, jednadžba stoji… ali logika omjera je pobijena.

Jednostavno pravilo koje meni uvijek pali:

– ako si prvi omjer zapisao kao

“*poznato : poznato*”,

onda i drugi mora ići istim redom:

“*odgovarajuće : odgovarajuće*”.

Malo konkretnije: ako uspoređuješ visinu stabla i njegovu sjenu,

i pišeš:

visina stabla / duljina sjene stabla = visina čovjeka / duljina sjene čovjeka

onda ne smiješ u sljedećem koraku zamijeniti mjesta visini i sjeni. Jednom kad definiraš redoslijed — drži ga se do kraja.

—

Mali trik s jedinicama koji spašava stvar

Još jedna sitnica koja ruši dobre namjere: miješanje centimetara, metara i kilometara.

Vidim zadatak: jedan podatak u centimetrima, drugi u metrima, treći u kilometrima. Učenik sve lijepo prepiše, krene računati, dobije “nešto”… a to “nešto” nema veze s realnošću.

Rješenje je dosadno, ali učinkovito:

– sve duljine prebaci u iste mjerne jedinice prije nego kreneš u bilo kakve omjere. Najčešće u centimetrima ili metrima. Jednom odabereš — držiš se toga do kraja zadatka.

To ti doslovno skine pola mogućih glupih pogrešaka.

—

Kako zapravo uvježbati Talesov poučak da ti uđe “u prste”

Najbolje se uči na stvarnim situacijama. Mostovi, sjene, karte — to nisu samo primjerI iz udžbenika, to su klasični “Talesovi tereni”.

Ja uvijek savjetujem učenicima ovo:

• uzmi nekoliko zadataka s primjenama: mjerenje visine zgrade preko sjene, širina rijeke preko trokuta, razmjeri na karti (skala)
• svaki put si naglas postavi tri pitanja:

1. Koje su stranice odgovarajuće?
2. Koje su linije paralelne i gdje to piše/vidi se?
3. Jesu li sve mjere u istim jedinicama?

Ako to postane mala rutina, Tales ti više neće biti lutrija nego alat koji koristiš vrlo hladnokrvno.

—

Stari ispiti — rudnik zlata za tipične gluposti

Jedna stvar koju učenici podcjenjuju: stari ispitni zadaci. Tu se kriju *iste* pogreške koje ćeš vjerojatno i ti napraviti, samo ih je netko već napravio prije tebe.

Kad rješavaš stare ispite, nemoj samo provjeriti je li rezultat točan. Puno je korisnije:

• pogledati rješenja i
• pratiti *kako* je netko drugi zapisao omjere,
• na koji je način označio usporedne pravce,
• gdje je preveo jedinice.

Još je bolje ako imaš primjer riješenog zadatka s napomenama “tipične pogreške”. To su ti male karte upozorenja: “ovdje svi krivo spoje omjere”, “ovdje zaborave da linije nisu paralelne”.

—

Na kraju, Talesov poučak nije “težak”. Problem je što ga ljudi često rade *napamet*, bez provjere paralelnosti, bez reda u omjerima i s mjernim jedinicama koje skaču iz centimetara u kilometre kao da su u reklami za putničku agenciju.

Kad izbaciš te tri navike — krivo viđenu paralelnost, okrenute omjere i zbrkane jedinice — odjednom isti zadaci postanu predvidivi. I, što je najvažnije, rezultati počnu imati smisla.

Veza s homotetijom i daljnjim geometrijskim pojmovima

Homotetija je, ugrubo, ono što se dogodi kad netko klikne „scale 200 %“ u AutoCAD‑u ili kad na mobitelu prstima raširiš fotku — samo što se u geometriji zna *točno* kako i zašto se sve povećalo.

Priča zapravo kreće od starog znanca, Talesa.

—

Kad prvi put čuješ za Talesovu poučku, sve se vrti oko trokuta, paralelnih pravaca i omjera dužina. Dvije usporedne crte, presječene s još dvije, pa odjednom magično nastanu razlomci koji su jednaki.

Profesor napiše:

> AB / AC = A’B’ / A’C’

…i ti se pitaš: „Dobro, i?“

E, upravo ti omjeri su srce homotetije.

Kod Talesa gledaš pojedine dužine; kod homotetije — cijele likove.

Kad kažeš da je neki lik homotetičan drugom, zapravo govoriš: isti su kutovi, iste „proporcije“, sve se samo rastegnulo ili stisnulo za isti faktor. Kao da imaš dvije iste fotografije, samo je jedna za profilnu na WhatsAppu, a druga kao plakat na zidu.

—

Središte homotetije je glavni lik u ovoj priči.

Zamisli to kao „točku eksplozije“ ili „točku skupljanja“. Iz nje sve polazi. Svaki vrh lika spojen je s tom točkom, i novi lik se nalazi dalje ili bliže na toj istoj liniji:

• faktor > 1 — lik *raste*,
• 0 < faktor < 1 — lik se *smanjuje*,
• faktor < 0 — lik se još i „okrene“ na drugu stranu središta.

Ono što je zgodno: gdje god bio taj centar, oblik ostaje vjeran samome sebi. Kutovi se ne mijenjaju, samo se mjerilo promijeni.

To je ona priča kad arhitekt pokaže ogroman projekt na A3 papiru, a na gradilištu od toga ispadne zgrada visoka 30 metara — i sve je „isti crtež“, samo u drugom mjerilu.

—

Što to ima s Talesom? Zapravo, sve.

Kad povučeš zrake iz središta homotetije prema vrhovima trokuta, dobiješ hrpu malih trokuta koji su svi slični. Omjeri stranica u njima uvijek su isti.

To je ista ona logika koju koristiš kad računaš nepoznatu dužinu pomoću Talesove poučke:

• stranice u starom i novom liku stoje u *istom omjeru*,
• bilo da gledaš cijeli trokut ili samo jedan njegov rub.

Drugim riječima, homotetija je Tales na steroidima — više nije samo jedna mala konfiguracija pravaca, nego cijeli sustav povećavanja i smanjivanja.

—

Gdje to živi u stvarnom životu, osim u udžbeniku?

• Nacrti zgrada: svaki arhitektonski plan je zapravo homotetična verzija zgrade. Mjerilo 1:100 znači da je svaka dužina stisnuta 100 puta. Prozori, vrata, stubišta — svi omjeri ostaju isti, samo su brojevi manji.
• Makete: kad u uredu stoji maketa nove poslovne zgrade u Zagrebu, to je opet homotetija pravog objekta. Faktor umanjenja možda je 1:200, ali kut fasade, nagib krova, sve je „copy‑paste“ u razmjeru.
• Tehnički crteži: strojar koji crta dio motora u mjerilu 1:5 radi čistu homotetiju stvarnog komada željeza koji će kasnije izaći iz CNC stroja.
• Digitalni svijet: zoom u grafičkim programima, planovi gradova na Google Mapsu, pa čak i ispis CAD crteža na različite veličine papira — sve se svodi na isto: promjena mjerila uz očuvanje oblika.

Kad jednom to povežeš, Tales prestane biti ona „čudna poučka s paralelnim pravcima“, a homotetija više nije apstraktni pojam.

To je jedan te isti princip razmjera, samo što ga u homotetiji gledaš na razini cijelih figura, a ne samo pojedinih dužina.

I na kraju, ako zapneš na zadatku, dobro je imati ovo u glavi: „Jesu li mi omjeri stranica ostali isti?“

Ako jesu — vrlo vjerojatno si u društvu Talesa i homotetije, čak i kad ti to nitko eksplicitno ne kaže.

Često postavljana pitanja

Kako se Talesov poučak odnosi na koordinatnu geometriju i analitičke metode?

Teorem Talesa lijepo se povezuje s koordinatnom geometrijom tako što pretvara geometrijske ideje u jednadžbe.

• Pokazuje prave kutove pomoću nagiba (koeficijenata smjera): nagibi okomitih pravaca imaju umnožak −1.
• Krajnje točke promjera kružnice postaju koordinate; polovište je središte.
• Formula udaljenosti, izvedena iz Pitagorinog poučka, mjeri stranice.

Zajedno, ovi alati omogućuju učenicima da algebarski potvrde Talesov teorem i istražuju mnoge zadatke s pravokutnim trokutima.

Može li se Talesov poučak proširiti na trodimenzionalne geometrijske konfiguracije?

Da, Talesov poučak može se smisleno proširiti na 3D, ali samo na određene načine.

Ključne točke:

• Pravokutni trokut u prostoru i dalje se pojavljuje kada njegove krajnje točke leže na promjeru sfere, koristeći 3D inačicu ideje kružnice.
• Ravnine koje sadrže taj promjer djeluju kao “ravni presjeci” u kojima vrijedi klasični poučak.
• Za općenitije 3D oblike učenici bi se trebali oslanjati na vektorske metode i skalarni produkt.

Koji povijesni dokazi postoje da je Tales doista otkrio ovaj teorem?

Povijesni dokazi da je Tales otkrio ovaj poučak slabi su i uglavnom posredni.

Stari pisci poput Prokla i Diogena Laertija pripisuju ga njemu, ali živjeli su mnogo stoljeća kasnije.

Izvorni Talesovi tekstovi nisu sačuvani, pa se povjesničari oslanjaju na izvještaje, predaje i kasnija pripisivanja.

Praktična je preporuka reći da se Tales “tradicionalno smatra” autorom poučka, uz napomenu da su njegovo točno podrijetlo i dokaz povijesno nesigurni.

Kako se Talesov poučak koristi u modernom inženjerskom softveru i CAD alatima?

Moderni inženjerski i CAD alati koriste Talesov poučak unutar svojih geometrijskih jezgri. Oslanjaju se na njega kako bi:

• generirali prave kutove i kružnice iz krajnjih točaka promjera
• podržali ograničenja poput „ovaj kut je 90°” ili „ova točka leži na kružnici”
• provjeravali mrežnu i modelsku geometriju na pogreške

Korisnici rijetko izravno vide poučak, ali on je osnova za skiciranje, hvatanje (snapping), parametarska ograničenja i automatsko kotiranje.

Postoje li neeuklidski geometrijski anolozi ili ograničenja Talesova poučka?

Ne-euklidske verzije Talesova poučka postoje samo u oslabljenom obliku i otkrivaju jasne granice.

Na sferi su „prave“ velike kružnice, trokuti mogu imati zbroj kutova veći od 180°, a promjer više ne jamči pravi kut.

U hiperboličkoj geometriji još više trokuta krši euklidska pravila.