Jednadžba elipse je temeljni alat kada želim točno opisati “spljošteni krug” na koordinatnoj ravnini.
Standardni oblik jednadžbe elipse je (frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1), s centrom u (0,0). Brojevi a i b određuju duljinu glavne i sporedne osi: veći od ta dva znači duža os. Fokusi leže na toj duljoj osi, na udaljenosti (c = sqrt{a^2 – b^2}) od centra.
Ako ovo ima smisla, u sljedećem koraku mogu mirno dodati pomaknuti centar i primjere crtanja.
Definicija elipse i geometrijska interpretacija
Elipsa je jedan od onih pojmova iz matematike koji zvuče suho, a zapravo su posvuda oko nas — od orbita planeta do atletske staze na stadionu.
U najkraćoj verziji: elipsa je skup svih točaka u ravnini za koje je zbroj udaljenosti do dvije zadane točke (žarišta) uvijek isti. To je njezina “tajna definicija”, sve ostalo samo su nijanse i posljedice tog pravila.
—
Tko su glavni “likovi” elipse?
Ne trebaju ti dugi udžbenici, dovoljno je znati nekoliko ključnih pojmova:
– Žarišta (foci)
Dvije fiksne točke u ravnini. Kako ih razmičeš ili približavaš, elipsa se “razvlači” ili približava krugu.
– Središte O
Točka točno na sredini dužine koja spaja žarišta. Ako povučeš liniju između žarišta, središte je njezin geometrijski “polovnik”.
– Velika os (major axis)
Najdulji pravac koji prolazi kroz središte O i probija elipsu s obje strane. Duljina joj je 2a. Taj “a” je kao osnovna mjera koliko je elipsa razvučena u glavnom smjeru.
– Mala os (minor axis)
Najkraći pravac kroz središte O, okomit na veliku os. Duljina joj je 2b, pri čemu uvijek vrijedi a ≥ b.
– Ekscentricitet, e
Ovo je ono brojčano “koliko je elipsa eliptična”, odnosno koliko bježi od idealnog kruga. Definira se kao
[
e = sqrt{1 – frac{b^2}{a^2}}
]
Ako je e blizu 0, elipsa je gotovo krug. Što je e bliži 1, elipsa izgleda sve spljoštenije i izduženije.
—
Ako sve to spojiš u jednu sliku: elipsa je glatka, zatvorena krivulja koja se ponaša kao “kompromis” između kruga i spljoštene linije — određena isključivo time koliko su žarišta udaljena i koliki je taj stalni zbroj udaljenosti do njih.
Standardne jednadžbe elipse u koordinatnoj ravnini
Elipsu u školi obično upoznaš kroz onaj suhi opis: “skup točaka kojima je zbroj udaljenosti od dva žarišta stalan”. Lijepo zvuči, ali u praksi, čim dođeš u koordinatnu ravninu, svi odjednom pričaju samo u jednadžbama.
Uzmimo najčešći slučaj — elipsa kojoj je središte baš u ishodištu koordinatnog sustava. Tada se standardni oblik piše ovako:
[
frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1
]
Tu su ti dva “glavna igrača”: (a) i (b). Oni određuju koliko je elipsa razvučena po osi (x), a koliko po osi (y).
Ako vrijedi (a > b), elipsa je “raširena” vodoravno — duža je po osi (x). Ako je (a < b), situacija se okreće: elipsa je više “uspravna”, pa se u tom slučaju vrlo često piše ovako:
[
frac{y^2}{a^2} + frac{x^2}{b^2} = 1
]
I to nije nikakvo mudro preslagivanje radi ljepote — samo želiš da veći od ta dva broja (onaj koji određuje dulju os) bude uz onu varijablu po kojoj je elipsa “razvučenija”.
Par konkretnih stvari koje iz te jednadžbe možeš pročitati gotovo iz prve:
- Duljine glavnih osi elipse su (2a) i (2b). Nema skrivene magije: od središta ideš (a) u jednu i (a) u drugu stranu po jednoj osi, odnosno (b) i (b) po drugoj.
- Središte elipse u ovom standardnom obliku je uvijek u ishodištu ((0,0)). Dok god nemaš nekakve ((x-h)) ili ((y-k)) zagrade, nema ni pomaka.
- Omjer (a : b) ti govori koliko je elipsa “spljoštena” ili “izdužena”. Kad je (a) puno veći od (b), dobiješ duguljast, gotovo “vlakasti” oblik; kad su (a) i (b) slični, elipsa se vrlo lako zamijeni s krugom na brzinskom crtežu.
I to je to — jedna relativno jednostavna jednadžba, a zapravo ti odmah servira kompletan izgled elipse u koordinatnoj ravnini.
Ključni parametri: velika poluos, mala poluos i žarišta
Kod elipse se isplati odmah razdvojiti tri glavna igrača: poluveliku os (a), polumalu os (b) i žarišta.
Ako ovo troje shvatiš, ostatak priče sjedne sam od sebe.
Poluvelika os a – to je onaj “glavni” polumjer. Najdulji. Vodi od središta O do najudaljenije točke elipse na glavnoj osi.
Kad gledaš crtež, to ti je ona vodoravna poluos koja izgleda kao da rasteže elipsu lijevo–desno.
Polumala os b je suprotnost — najkraći polumjer. Ide od istog središta O, ali prema gore ili dolje, do najbliže točke elipse na sporednoj (okomitoj) osi.
Ako a elipsu “širi”, b je ono što je “stanji”.
Onda dolazimo do žarišta, F₁ i F₂. Ona leže na glavnoj osi, jedno s lijeve, drugo s desne strane, savršeno simetrično oko središta O.
Razmak između njih nije proizvoljan: jednak je 2e, gdje je
> e = √(a² − b²).
Tu se krije prava čar: za *bilo koju* točku na elipsi, zbroj udaljenosti do F₁ i F₂ uvijek je isti — jednak je 2a.
To znači da, bez obzira šetaš li po “vrhu” elipse ili oko njezinih bokova, kad zbrojiš koliko si daleko od jednog i drugog žarišta, dobiješ istu konstantu.
To je ona definicija zbog koje elipsa i jest elipsa, a ne “neka spljoštena kružnica”.
Ekscentricitet elipse i njegovo geometrijsko značenje
Kod rada s elipsama korisno je koristiti formula za numeričku ekscentricitet ( e = sqrt{1 – frac{b^2}{a^2}} ), koja govori koliko je elipsa izdužena u usporedbi s krugom.
Kako se (e) pomiče od 0 prema 1, elipsa prelazi iz gotovo kružne u vrlo izduženu, a njezini se fokusi pomiču sve dalje od središta duž velike osi.
Isti broj također je važan za tumačenje orbita u astronomiji, gdje mali (e) znači više kružnu orbitu s ujednačenom udaljenošću, dok veći (e) upozorava na veće promjene udaljenosti i varijacije brzine.
Numerička formula ekscentriciteta
Elipsa i ekscentricitet zvuče suho, gotovo kao nešto iz zaboravljenog kuta udžbenika.
Ali ako voliš jasne brojke koje ti *točno* kažu koliko je nešto “spljošteno”, ekscentricitet je baš taj lik.
Numerički ekscentricitet elipse definiran je ovako:
ε = c / a
- a je poluvelika os (onaj “duži polumjer” elipse)
- c je udaljenost od središta elipse do jednog žarišta (fokusa)
Tu je i ona klasična veza koju svi profesori vole ispisivati na ploči:
c² = a² − b²
- b je polumala os (kraći polumjer elipse)
- kad znaš a i b, bez puno filozofije izračunaš c, pa onda i ε
Sad ono zbog čega je taj ε uopće zanimljiv:
– Vrijednost ε je uvijek između 0 i 1.
Ako je ε = 0, elipsa se *pretvori* u savršen krug — to znači da je c = 0, dakle žarišta sjede točno u centru.
– Što je ε bliže 1, to elipsa izgleda “razvučenije”: dugačka, uska, kao da ju je netko povukao za krajeve na ekranu.
Kako ε raste, žarišta se doslovno udaljavaju od središta.
Geometrijski, to je onaj trenutak kad crta više ne izgleda “krugasto”, nego poprima onaj izduženi, gotovo orbitalni izgled — baš kao putanja planeta oko Sunca u udžbenicima fizike.
U jednoj rečenici:
Ekscentricitet ti je broj koji ti kaže koliko je elipsa daleko od toga da bude krug — 0 je krug, blizu 1 je “kozmička palačinka”.
Oblik i tumačenje orbite
Ekscentricitet je onaj mali broj koji ti u jednoj rečenici kaže: „Je li ova elipsa gotovo krug ili je rastegnuta kao žvaka?“.
Matematički, definira se kao
e = c / a
- a je poluvelika os (onaj „duži polumjer“ elipse)
- c je udaljenost od središta elipse do fokusa
Što to znači za oblik?
- Kad je e = 0, nema igre — to je savršen krug.
- Kad je 0 < e < 1, dobiješ elipsu, i to sve izduženiju kako se e približava jedinici.
Fokusi nisu bilo gdje nabacani. Leže na velikoj osi elipse, simetrično lijevo i desno od središta. Udaljeni su
|F₁F₂| = 2c,
a taj c računa se iz poluosi:
c = √(a² − b²), gdje je b polumala os.
Kad priču prebaciš na orbite planeta, ekscentricitet postaje intuitivan pokazatelj „pravocrtne ludosti“ putanje:
- mali e → orbita je skoro pa krug
- veći e → sve izduženija putanja, više „jajolika“
Zemlja je tu dobar primjer koliko „malo“ zna biti stvarno malo: njezina orbita ima
e ≈ 0,0167 — toliko malu razliku od kruga da bi je većina ljudi nacrtala potpuno kružno i ne bi pogriješila „golim okom“.
Izvođenje kanonske jednadžbe elipse korak po korak
Krenimo od početka, ali bez suhe, učeničke verzije.
Elipsa nije nikakvo čudo – to je skup svih točaka u ravnini za koje vrijedi: zbroj udaljenosti do dviju zadanih točaka (fokusa) je stalan.
Te dvije točke su F₁(-c, 0) i F₂(c, 0), a neka je opća točka na elipsi T(x, y).
Dogovor je: zbroj udaljenosti do fokusa jednak je 2a. To je početna rečenica cijele priče.
—
1. Pišemo ono što geometrija govori
Udaljenosti do fokusa:
– do F₁:
[
TF_1 = sqrt{(x + c)^2 + y^2}
]
– do F₂:
[
TF_2 = sqrt{(x – c)^2 + y^2}
]
Uvjet elipse glasi:
[
sqrt{(x + c)^2 + y^2} + sqrt{(x – c)^2 + y^2} = 2a
]
Tu je sve još „čisto geometrijski“. Slijedi dio koji većini diže tlak — sređivanje korijena.
—
2. Prvo kvadriranje – rješavamo se jednog sloja korijena
Označimo kratko:
[
A = sqrt{(x + c)^2 + y^2}, quad B = sqrt{(x – c)^2 + y^2}
]
pa je
[
A + B = 2a
]
Kvadriramo obje strane:
[
(A + B)^2 = (2a)^2
]
[
A^2 + 2AB + B^2 = 4a^2
]
Sad vratimo što su A² i B²:
[
[(x + c)^2 + y^2] + 2sqrt{[(x + c)^2 + y^2][(x – c)^2 + y^2]} + [(x – c)^2 + y^2] = 4a^2
]
Sredimo zbroj bez korijena:
- ((x + c)^2 = x^2 + 2cx + c^2)
- ((x – c)^2 = x^2 – 2cx + c^2)
Zbrajamo:
[
(x + c)^2 + (x – c)^2 = (x^2 + 2cx + c^2) + (x^2 – 2cx + c^2) = 2x^2 + 2c^2
]
Dodamo još (y^2 + y^2 = 2y^2).
Dakle:
[
[(x + c)^2 + y^2] + [(x – c)^2 + y^2] = 2x^2 + 2y^2 + 2c^2
]
Naša jednadžba sada:
[
2x^2 + 2y^2 + 2c^2 + 2sqrt{[(x + c)^2 + y^2][(x – c)^2 + y^2]} = 4a^2
]
Podijelimo sve s 2 da izgleda pristojnije:
[
x^2 + y^2 + c^2 + sqrt{[(x + c)^2 + y^2][(x – c)^2 + y^2]} = 2a^2
]
Sad izoliramo korijen:
[
sqrt{[(x + c)^2 + y^2][(x – c)^2 + y^2]} = 2a^2 – x^2 – y^2 – c^2
]
—
3. Drugo kvadriranje – potpuno uklanjamo korijen
Još jednom kvadriramo:
[
[(x + c)^2 + y^2][(x – c)^2 + y^2] = left(2a^2 – x^2 – y^2 – c^2right)^2
]
Lijevu stranu sredimo prvo.
Primijetimo:
[
(x + c)(x – c) = x^2 – c^2
]
pa:
[
[(x + c)^2 + y^2][(x – c)^2 + y^2] = left[(x^2 + 2cx + c^2) + y^2right]left[(x^2 – 2cx + c^2) + y^2right]
]
To je produkt dva izraza:
[
(x^2 + y^2 + c^2 + 2cx)(x^2 + y^2 + c^2 – 2cx)
]
Oblik ((P+Q)(P-Q) = P^2 – Q^2) s:
- (P = x^2 + y^2 + c^2)
- (Q = 2cx)
Dakle:
[
[(x + c)^2 + y^2][(x – c)^2 + y^2] = (x^2 + y^2 + c^2)^2 – (2cx)^2
]
[
= (x^2 + y^2 + c^2)^2 – 4c^2x^2
]
Desna strana:
[
left(2a^2 – x^2 – y^2 – c^2right)^2
]
Tu ćemo prvo malo srediti izraz u zagradi.
Pišemo ga kao:
[
2a^2 – c^2 – x^2 – y^2
]
Kasnije ćemo ubaciti vezu između a, b, c.
Trenutno jednadžba glasi:
[
(x^2 + y^2 + c^2)^2 – 4c^2x^2 = (2a^2 – c^2 – x^2 – y^2)^2
]
—
4. Ključna veza: (c^2 = a^2 – b^2)
Za elipsu vrijedi:
[
c^2 = a^2 – b^2
]
To znači:
- (a^2 = b^2 + c^2)
- i (a > b), pa je glavna os vodoravna (elipsa je „razvučena“ po x-osi).
Krenimo sada čistiti jednadžbu uz ovu vezu.
Primijetimo da se u obje kvadrirane strane pojavljuje izraz tipa „x² + y² + c²“ i „2a² − c² − x² − y²“.
Pokušajmo desnu stranu zapisati s obzirom na (a^2 = b^2 + c^2).
Imamo:
[
2a^2 – c^2 = 2(b^2 + c^2) – c^2 = 2b^2 + c^2
]
Dakle:
[
2a^2 – c^2 – x^2 – y^2 = (2b^2 + c^2) – x^2 – y^2
]
Jednadžba je sada:
[
(x^2 + y^2 + c^2)^2 – 4c^2x^2 = (2b^2 + c^2 – x^2 – y^2)^2
]
Ovdje dolazi malo brutalne algebre, ali bez nje ne ide.
Proširimo obje strane, uz strpljenje.
Lijevo:
[
(x^2 + y^2 + c^2)^2 = (x^2 + y^2)^2 + 2c^2(x^2 + y^2) + c^4
]
Dakle:
[
L = (x^2 + y^2)^2 + 2c^2(x^2 + y^2) + c^4 – 4c^2x^2
]
Desno:
[
R = (2b^2 + c^2 – x^2 – y^2)^2
]
Neka je:
[
S = x^2 + y^2, quad K = 2b^2 + c^2
]
Tada:
[
R = (K – S)^2 = K^2 – 2KS + S^2
]
Lijevo, u tim oznakama:
[
L = S^2 + 2c^2S + c^4 – 4c^2x^2
]
Jednadžba (L = R) postaje:
[
S^2 + 2c^2S + c^4 – 4c^2x^2 = K^2 – 2KS + S^2
]
Srećom, (S^2) se skrati s obje strane. Oduzmemo (S^2):
[
2c^2S + c^4 – 4c^2x^2 = K^2 – 2KS
]
Prebacimo sve na jednu stranu:
[
2c^2S + c^4 – 4c^2x^2 – K^2 + 2KS = 0
]
Sada vratimo (S = x^2 + y^2) i (K = 2b^2 + c^2):
[
2c^2(x^2 + y^2) + c^4 – 4c^2x^2 – (2b^2 + c^2)^2 + 2(2b^2 + c^2)(x^2 + y^2) = 0
]
Sredimo po dijelovima. Grupirajmo članove s (x^2), s (y^2) i bez x, y.
Članovi s (x^2):
- iz (2c^2(x^2 + y^2)): (2c^2x^2)
- iz (-4c^2x^2): (-4c^2x^2)
- iz (2(2b^2 + c^2)(x^2 + y^2)): (2(2b^2 + c^2)x^2)
Zbroj:
[
(2c^2 – 4c^2)x^2 + 2(2b^2 + c^2)x^2 = (-2c^2 + 4b^2 + 2c^2)x^2 = 4b^2x^2
]
Članovi s (y^2):
- iz (2c^2(x^2 + y^2)): (2c^2y^2)
- iz (2(2b^2 + c^2)(x^2 + y^2)): (2(2b^2 + c^2)y^2)
Zbroj:
[
2c^2y^2 + 2(2b^2 + c^2)y^2 = (2c^2 + 4b^2 + 2c^2)y^2 = (4c^2 + 4b^2)y^2 = 4a^2y^2
]
jer je (a^2 = b^2 + c^2).
Konstante (bez x, y):
- (c^4)
- (-(2b^2 + c^2)^2)
Računamo:
[
(2b^2 + c^2)^2 = 4b^4 + 4b^2c^2 + c^4
]
Pa:
[
c^4 – (4b^4 + 4b^2c^2 + c^4) = -4b^4 – 4b^2c^2 = -4b^2(b^2 + c^2) = -4b^2a^2
]
Sve skupa:
[
4b^2x^2 + 4a^2y^2 – 4b^2a^2 = 0
]
Podijelimo jednadžbu s 4:
[
b^2x^2 + a^2y^2 – a^2b^2 = 0
]
Prebacimo konstantu:
[
b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b^2
]
I na kraju podijelimo s (a^2b^2):
[
frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1
]
To je kanonski oblik elipse s vodoravnom glavnom osi, uz uvjet (a > b).
—
5. Što znači (a > b) u praksi?
- Os po x-osi ima duljinu (2a) — elipsa je „razvučena“ vodoravno.
- Os po y-osi ima duljinu (2b).
- Fokusi su na x-osi, u točkama ((pm c, 0)), gdje je (c^2 = a^2 – b^2).
Ako ti netko da elipsu u obliku:
[
frac{x^2}{9} + frac{y^2}{4} = 1
]
onda:
- (a^2 = 9), (a = 3)
- (b^2 = 4), (b = 2)
- (c^2 = a^2 – b^2 = 9 – 4 = 5), (c = sqrt{5})
I odmah vidiš: šira je po x-osi, s fokusima u ((pm sqrt{5}, 0)).
—
Ovo je cijeli put: od „zbroj udaljenosti je 2a“ do uredne formule
[
frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1
]
uz jasno praćenje gdje i kako se ubacuje (c^2 = a^2 – b^2) i zašto (a > b) znači vodoravna elipsa.
Grafički prikaz elipse iz njezine jednadžbe
Kad prvi put vidiš jednadžbu elipse, sve izgleda kao da ti je netko prosuo matematiku po papiru.
Ali zapravo… stvar je jako uredna. Samo trebaš znati što gledati.
Priča uvijek kreće od kanonskog oblika:
[
frac{(x-h)^2}{a^2} + frac{(y-k)^2}{b^2} = 1
]
To je ona “uređena” verzija elipse. Tek kad jednadžbu dovedeš u taj oblik, graf ti počne pričati priču.
—
1. Središte: gdje elipsa “živi”
U tom zapisu, par ((h, k)) je središte elipse.
Točka oko koje se sve vrti.
Ako piše ((x-3)^2) i ((y+2)^2), to znači da je središte u ((3, -2)).
Znakovi su uvijek malo pasivno-agresivni u tim zagradama — minus unutra znači plus u koordinati, i obratno.
Kad crtaš, tu točku obavezno ucrtaj prvu.
To ti je “sidro” cijelog crteža. Bez toga sve ode k vragu, kao kad zabiješ šator bez klinova.
—
2. a i b: poluosi koje određuju “formu”
Brojevi (a) i (b) stoje dolje, u nazivnicima, ali zapravo vode glavnu riječ.
- (a) je poluvelika os — određuje koliko elipsa ide “daleko” u smjeru glavne osi.
- (b) je polumala os — kraća strana, druga os.
Ako je (a > b) i (a^2) je ispod izraza s (x), elipsa je “razvučena” vodoravno.
Ako je (a^2) ispod izraza s (y), glavna os je okomita.
Praktično: izračunaš (a = sqrt{a^2}) i (b = sqrt{b^2}). Bez filozofije.
—
3. Vrhovi: četiri ključne točke
Od središta ideš:
- vodoravno: ((h pm a, k))
- okomito: ((h, k pm b))
Dobiješ četiri vrha elipse.
To su točke koje najviše “strše” — krajevi elipse po širini i visini.
Tu već na papiru počneš vidjeti oblik.
Nacrtaj mali pravokutnik koji ih povezuje — elipsa će dodirivati središta njegovih stranica (to ti dobro dođe kao vizualni okvir).
—
4. c i fokusi: malo “unutarnje geometrije”
Elipsa nije samo lijepa krivulja; ima i dva fokusa.
Oni se nalaze na glavnoj osi, “unutra” elipse.
Za to ti treba broj (c):
[
c = sqrt{a^2 – b^2}
]
To uvijek ide tako, bez obzira je li glavna os vodoravna ili okomita.
Samo pazi: (a) mora biti veći od (b). Ako nije — nešto si krivo posložio.
Ako je glavna os vodoravna:
– fokusi su u ((h pm c, k))
Ako je okomita:
– fokusi su u ((h, k pm c))
Iskreno, kad sam prvi put učio elipse, potpuno sam preskakao fokuse jer sam mislio da su “za one koji vole patiti”.
Kasnije skužiš da ti zapravo daju lijep osjećaj gdje je elipsa više “zgusnuta”.
—
5. Crtanje elipse: od kostura do glatke linije
Kad imaš:
- središte ((h,k))
- četiri vrha (pomoću (a) i (b))
- eventualno fokuse (ako želiš preciznije)
…vrijeme je da spojiš sve u glatku krivulju.
Ne spajaš ih ravnim crtama.
Elipsa je “spljošteni krug” — linija treba biti zaobljena, mekana, bez naglih lomova.
Kreni od jednog vrha i kružno “zaokreni” prema sljedećem, kao da crtaš jako uredan, elastičan balon.
Mala praktična fora: Ako si nesiguran u ruku, prvo si blago olovkom označi još par točaka između vrhova — tako dobiješ “putanju” koju slijediš, pa onda preko nje povučeš konačnu liniju.
—
Kratka mentalna check-lista prije nego što završiš
– Je li jednadžba u kanonskom obliku?
Ako nije, trebaš je preurediti (često dovršavanjem kvadrata).
- Jesi li pravilno očitao središte ((h,k))?
- Jesi li izračunao (a) i (b) kao korijene iz nazivnika?
- Jesu li vrhovi točno postavljeni oko središta?
- Ako si računao fokuse, jesu li na pravoj osi (vodoravnoj ili okomitoj)?
- Izgleda li elipsa simetrično oko središta?
Kad ti to postane rutina, jednadžba elipse prestane biti “zadatak” i postane više kao mali geometrijski puzzle koji rješavaš na autopilotu… uz jednu solidnu šalicu kave.
Tangente na elipsu i uvjeti za tangenciju
Tangenta na elipsu je onaj “bezobrazno blizak” pravac koji elipsu samo dotakne — jedna zajednička točka, ni milimetar presijecanja više.
Kod standardne elipse b²x² + a²y² = a²b², priča s tangentama je zapravo vrlo čista, samo ti to u udžbenicima često zakompliciraju.
—
1. Kada je pravac doista tangenta?
Uzmeš pravac u obliku:
> y = kx + l
i želiš znati: *dotiče li on elipsu ili ju reže u dvije točke?*
Za tu našu elipsu vrijedi jasan kriterij tangencije:
> k²a² + b² = l²
Ako je taj uvjet zadovoljen — pravac je tangenta.
Ako nije — ili nema dodira s elipsom, ili ju presijeca u dvije točke.
To je onaj korak koji profesori stalno ponavljaju, a pola razreda svejedno preskoči… i onda završi s kvadratnim jednadžbama koje ne vode nikamo.
—
2. Kako iskoristiti poznatu točku na elipsi?
Ako znaš konkretnu točku na elipsi, recimo (x₀, y₀), ne trebaš izmišljati toplu vodu.
Za elipsu b²x² + a²y² = a²b², jednadžba tangente kroz tu točku glasi:
> b²x₀x + a²y₀y = a²b²
To je gotovo “šalabahter formula”.
Ubaciš x₀ i y₀, malo središ jednadžbu i tangenta je tvoja.
—
3. Nagib tangente? To rješava derivacija
Ako te zanima nagib (k) tangente u nekoj točki elipse, onda ideš na stari dobri trik — implicitna derivacija.
Kreneš od:
> b²x² + a²y² = a²b²
Deriviraš po x:
> 2b²x + 2a²y · y’ = 0
Pa odavde:
> y’ = – (b²x) / (a²y)
U točki (x₀, y₀) dobiješ nagib tangente:
> k = – (b²x₀) / (a²y₀)
I onda s tim k-om možeš pisati tangentu u klasičnom obliku:
> y – y₀ = k(x – x₀)
—
Ako radiš zadatke za maturu ili faks, redoslijed ti se svodi na ovo:
- Ako imaš zadani pravac: prvo provjeri uvjet tangencije k²a² + b² = l² — bez toga sve ostalo je pucanj u prazno.
- Ako imaš zadanu točku na elipsi: odmah koristi b²x₀x + a²y₀y = a²b²
- Ako ti trebaju nagibi ili “najveći/najmanji kut”: ideš preko derivacije.
I to je cijela filozofija tangenti na elipsu… ostatak je samo računanje.
Primjene elipsi u geometriji, fizici i astronomiji
Elipsa nije nikakva sporedna zvijezda među krivuljama, nego pravi „radni konj” matematike — diskretna, ali stalno prisutna u geometriji, fizici, astronomiji i inženjerstvu.
U geometriji je stvar vrlo elegantna: elipsa je skup svih točaka u ravnini za koje je zbroj udaljenosti do dva žarišta uvijek isti. Nije samo definicija za test, nego i praktičan recept za crtanje. Ako si ikad napinjao konac između dva čavlića na dasci i šetao olovkom oko njih — upravo si konstruirao elipsu. Zbog toga se i u ozbiljnim nacrtima često kreće od žarišta, kad treba precizna, „čista” konstrukcija bez improvizacije.
Kad se prebaciš u fiziku i tehniku, elipsa odjednom počne odrađivati vrlo konkretan posao. Reflektori, teleskopi, čak i neke vrste medicinskih uređaja koriste jedno njezino posebno svojstvo: zrake koje polaze iz jednog fokusa, nakon refleksije na eliptičnoj površini, prolaze kroz drugi fokus. To nije poezija, to je optika. Otud ona pametna forma reflektora u kazalištima ili stadionima — svjetlo ide tamo gdje treba, a ne „svugdje pomalo”.
Onda dolazimo do one suhe, ali nužne stvari: proračuna. Formula za površinu elipse A = πab (gdje su *a* i *b* poluosi) stalno spašava vrijeme inženjerima. Trebaš znati koliko će ti materijala trebati za eliptični prozor, podestu u obliku elipse ili metalnu ploču za spremnik? Izvučeš dvije poluosi, ubaciš u formulu, i imaš broj kvadratnih metara bez filozofiranja.
Astronomija je možda najromantičniji dio priče. Još je Kepler opisao da planeti ne kruže oko Sunca po savršenim krugovima, nego baš po elipsama. Sunce sjedi u jednom od žarišta, a planeti — pa, oni odrađuju svoje tihe eliptične plesove. Svaka orbita, svaki povratak kometa, sve to se računa preko iste te elipse koju u školi crtaš koncem i olovkom.
Na kraju ispadne da elipsa nije „još jedna krivulja za ispit”, nego nešto što:
- usmjerava svjetlo u reflektorima i teleskopima
- određuje koliko materijala trebaš za eliptične oblike
- opisuje putanja planeta i satelita oko Sunca ili planeta
A sve krene od one jednostavne ideje: dvije točke, jedan stalni zbroj udaljenosti — i otvori se cijeli svemir primjena.
Zadaci za vježbu s detaljno riješenim primjerima
Teorija je tu da ti da kostur, ali stvarna sigurnost u elipsama dolazi tek kad prođeš kroz konkretne zadatke — one gdje vidiš baš svaki korak, bez preskakanja.
Kreni od početka, kao što bi to napravio svaki srednjoškolac kad sjedne za stol prije testa iz analitičke geometrije. Na papiru se prvo piše standardni oblik elipse:
[
frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1
]
Tu odmah gledaš što je što. Iz nazivnika čitaš poluosi:
- (a) je poluosa uz x-os,
- (b) je poluosa uz y-os.
Čim ih imaš, formula za površinu pada praktički sama od sebe:
[
A = pi a b
]
Jedan sasvim klasičan zadatak: neka je
(a = 5), (b = 3).
Površina onda bude:
[
A = pi cdot 5 cdot 3 = 15pi
]
I to je to — u par poteza imaš površinu elipse.
Ali elipsa nije samo “spljošteni krug”. U igru ulaze i žarišta i ekscentricitet, a tu mnogi krenu brkati formule.
Za udaljenost žarišta od središta vrijedi:
[
c = sqrt{a^2 – b^2}
]
Dakle, za naš primjer s (a = 5), (b = 3):
[
c = sqrt{5^2 – 3^2} = sqrt{25 – 9} = sqrt{16} = 4
]
Žarišta su onda na točkama ((pm c, 0)), znači ((4, 0)) i ((-4, 0)).
Kad to središ, ostaje još ekscentricitet — mjera koliko je elipsa “izdužena”:
[
e = frac{c}{a}, quad 0 < e < 1
]
U našem primjeru:
[
e = frac{4}{5} = 0{,}8
]
Što je (e) bliže 1, elipsa je “ravnija”, rastegnutija. Što je bliže 0, ponaša se sve više kao krug.
Nakon par ovakvih zadataka, formula za površinu, žarišta i ekscentricitet prestanu biti nešto što se uči napamet, a postanu rutinski alat — kao kad u džepu uvijek imaš spremnu olovku za bilješke.
Često postavljana pitanja
Kako prepoznati elipsu zadanu implicitnom jednadžbom općeg drugog reda?
Poput otiska prsta, implicitna jednadžba drugog reda opisuje elipsu po svojim koeficijentima.
Prepoznaje se tako da:
- kvadratni članovi su x² i y², oba prisutna i istog predznaka
- nema člana xy (ili se ukloni rotacijom osi)
- diskriminanta konike zadovoljava Δ < 0 uz isti predznak za A i C
- nakon dovođenja na kanonski oblik, dobivaju se pozitivne vrijednosti poluosi.
Kako se jednadžba elipse mijenja pri translaciji i rotaciji koordinatnog sustava?
Jednadžba elipse se pri translaciji mijenja zamjenom x → x − h i y → y − k, pa se središte pomiče u točku (h, k), ali oblik elipse ostaje isti.
Pri rotaciji za kut θ uvodi se nova baza:
x = x′cosθ − y′sinθ,
y = x′sinθ + y′cosθ.
Tada se elipsa općenito opisuje općom kvadratnom jednadžbom u x′ i y′, bez xy člana ako je os usklađena.
Koje su razlike između elipse, parabole i hiperbole u praksi?
U praksi, elipsa opisuje zatvorene orbite i leće, parabola fokusira zrake u jednu točku (antene, reflektori), a hiperbola opisuje otvorene putanje i precizno pozicioniranje.
- Elipsa: zatvorena, dva fokusa, stabilne orbite.
- Parabola: jedan fokus, “granični” slučaj, reflektori.
- Hiperbola: dvije grane, otvorene putanje, navigacija i radari.
Kako numerički aproksimirati opseg elipse i koje su najčešće formule?
Kako se može procijeniti opseg elipse bez složene matematike? Najčešće se koriste praktične aproksimacije, jer točan opseg nema jednostavnu formulu.
Glavne formule (a – velika poluos, b – mala poluos):
- Ramanujan 1: (P approx pi[3(a+b) – sqrt{(3a+b)(a+3b)}])
- Ramanujan 2 (preciznija, sporija): koristi (left(frac{a-b}{a+b}right)^2) korekciju
Preporuka: u praksi, Ramanujan 1 je dobar kompromis između točnosti i jednostavnosti.
Kako iz eksperimentalnih podataka najbolje prilagoditi (fitati) elipsu metodom najmanjih kvadrata?
Najbolje je primijeniti metodu najmanjih kvadrata na opći oblik elipse, uz dodatno ograničenje da krivulja doista bude elipsa.
Praktičan postupak:
- koristi se opći oblik Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0
- rješava se linearni LS problem za A–F
- dodaje se “ellipse constraint” (npr. B² – 4AC < 0)
- zatim se parametri: centar, osi, kut računaju iz dobivenih koeficijenata.
