Domen funkcije – Brzi vodič za učenike

Domena funkcije odlučuje koji ulazi u formuli uopće imaju smisla i gdje rješenja nisu “pokvarena”.

Domena funkcije je skup svih brojeva x za koje je izraz definiran: ne smije biti dijeljenja s nulom, čak korijen ne smije imati negativan broj pod korijenom, a logaritam traži pozitivan argument. U praksi tražim sve takve x i usporedim ih s prirodnom domenom zadane formule.**

U nastavku ću kroz kratke primjere pokazati kako to radim korak po korak.

Osnovna ideja funkcije i njezina notacija

Funkciju je najlakše shvatiti kao mali, tvrdoglavi stroj: što god mu ubaciš kao *dozvoljeni* ulaz, on ti uvijek izbaci točno jedan izlaz. Nema “ponekad ovo, ponekad ono”. Jedan ulaz → jedan izlaz. Pravilo je jasno i ne mijenja raspoloženje iz dana u dan.

Kad u matematici pišemo f(x), tu se krije više nego što izgleda na prvu:

• f je ime funkcije, kao natpis na vratima ureda.
• x je ulaz, broj koji “gurneš” unutra.
• f(x) je ono što izađe van — rezultat, odnosno izlaz.

Čita se: “f od x”. Ako napišeš, recimo, `f(x) = 2x + 3`, onda za `x = 1` dobiješ `f(1) = 2·1 + 3 = 5`. Ulaz 1, izlaz 5. Nema pregovora.

Na grafu se cijela ta priča pretvara u točkice: svaka točka je oblika (x, f(x)). Dakle, prvo ulaz, odmah do njega njegov izlaz. Spojiš te točke i dobiješ krivulju ili liniju koja predstavlja funkciju.

Ako se pitaš “je li ova crtarija uopće funkcija?”, postoji onaj jednostavni trik koji svi profesori vole: vertikalni test. Povučeš zamišljenu okomitu liniju (paralela na y-os).

Ako tu liniju graf presiječe:

• najviše jednom → imaš funkciju.
• više puta → to je samo neka relacija, ali ne i funkcija, jer istom ulazu daje više izlaza.

To je cijela filozofija: dobro definirano pravilo, jednoznačan izlaz i graf koji ne dopušta da ista x-vrijednost ima dva različita y-a. Kad to sjedne, sve ostale “strašne” funkcije iz srednje škole odjednom izgledaju puno pitomije.

Domena, kodomena i slika: ključne definicije

Da bi učenik mogao samouvjereno raditi s funkcijama, najprije bi trebao razdvojiti tri povezana pojma: domenu (sve dopuštene ulaze), kodomenu (sve namijenjene izlaze) i sliku (izlaze koji se doista proizvode).

Kao praktično pravilo, domenu bi trebalo odrediti isključivanjem svih ulaza koji bi uzrokovali neodređenu vrijednost, kao što su dijeljenje s nulom ili negativan broj unutar parnog korijena.

Također se preporučuje zadržati jasnu razliku između kodomene i slike u notaciji i primjerima, jer njihovo poistovjećivanje može sakriti važne pojedinosti o tome kako se funkcija ponaša.

Definiranje domene i kodomene

Kad god pričamo o funkcijama, svi odmah skaču na formule, grafove, derivacije… a najvažniji dio često prođe “ispod radara”: što toj funkciji uopće smiješ ubaciti i što ona smije izbaciti. Tu na scenu dolaze *domena* i *kodomena*.

I ne, to nije samo suha teorija za prolaz na kolokviju. Ako to ne središ u glavi, vrlo brzo završiš s glupostima tipa dijeljenje s nulom, korijen negativnog broja ili “rješenja” koja u stvarnom svijetu uopće ne mogu postojati.

—

Domena – tko uopće smije ući u klub?

Domena je skup *svih dozvoljenih ulaza* u funkciju. Ne “onih koji ti se sviđaju”, nego onih za koje pravilo funkcije stvarno radi, bez pucanja.

Primjer iz života:

– Uzmeš funkciju ( f(x) = frac{1}{x – 3} ). Možeš li staviti ( x = 3 )? Ne možeš. Razlomak bi tražio da dijeliš s nulom. Dakle, 3 je automatski izbačen iz domene.

Ja sam na prvoj godini fulao zadatak jer sam lijepo izračunao sve… ali sam u domeni ostavio vrijednost koja radi dijeljenje s nulom. Profesor je samo zaokružio taj broj crvenom olovkom i rekao: “Ovo ti ruši sve.” Nije pretjerivao.

Kod korijena ista priča:

– Funkcija ( g(x) = sqrt{x – 5} ). Da bi korijen bio definiran u realnim brojevima, treba vrijediti ( x – 5 ge 0 ), dakle ( x ge 5 ). Sve ispod 5 — van iz domene.

Kad definiraš domenu, ti zapravo kažeš: “Ovdje funkcija radi, izvan toga ne odgovaram ni za što.”

—

Kodomena – gdje smije završiti rezultat?

Kodomena je druga priča. To je skup u kojem *smije* živjeti rezultat funkcije. Ne nužno gdje on stvarno završi — to je raspon (range) — nego okvir koji mu zadaš unaprijed.

Jedan prizemljen primjer:

– Uzmimo ( f: mathbb{R} to mathbb{R} ), ( f(x) = x^2 ). Domena: svi realni brojevi. Kodomena (kako si je definirao): opet svi realni brojevi. Ali što funkcija zaista daje kao izlaz? Samo nenegativne brojeve, dakle ( y ge 0 ).

Stvarna slika:

• *Kodomena* = što si službeno dopustio kao moguće izlaze.
• *Raspon* = što funkcija u praksi zaista “proizvede”.

Zašto je to bitno? U ozbiljnim primjenama (statistika, strojarstvo, ekonomija), često namjerno postaviš kodomenu da ograničiš rezultate na ono što ima smisla.

Primjer iz prakse:

– Modeliraš broj ljudi u tramvaju u Zagrebu funkcijom vremena. Da, matematika bi ti mogla dati “−3 putnika” ako ne paziš. U stvarnosti to ne postoji. Tu kodomenu postaviš na *nenegativne cijele brojeve* — baš zato da te spriječi u besmislu.

—

Kako se domena zapravo “čisti”?

U praksi, kad dobiješ formulu, prvi korak je uvijek isti: traži gdje se stvar lomi.

Gledaš:

• je li negdje dijeljenje s nulom
• stoji li korijen nad nečim što može postati negativno
• imaš li logaritam (njegov argument mora biti pozitivan)
• pojavljuju li se razlomci u eksponentu (onda baza ima svoja ograničenja)
• imaš li u nazivniku nešto što može postati nula nakon transformacija

Ja to volim zvati “sanacija terena” prije gradnje. Ako to preskočiš, sve što kasnije radiš je na trusnom području.

—

Što dobiješ kad sve to shvatiš kako treba?

Kad jasno postaviš domenu i kodomenu, funkcija prestaje biti apstraktna i postaje pouzdani alat:

• točno znaš s kojim brojevima smiješ računati
• znaš koje rezultate ima smisla očekivati
• možeš odmah vidjeti kad je neki proračun “otišao u krivo”, jer iskače iz kodomene
• lakše objašnjavaš model drugima — od kolege na faksu do šefa koji voli brojke, ali ne voli iznenađenja

U jednoj analizi za lokalni startup u fintechu, vidio sam model gdje funkcija za kamatnu stopu teoretski može dati 1500% godišnje. Matematika je šutjela, ali poslovno je to potpuno suludo. Kodomena je bila loše zadana. Čim smo ju ograničili na razuman raspon, pola “scenarija” se automatski izbacilo kao nemoguće. Uštedjeli su sate sastanaka — i puno živaca.

—

Ako sve to trebaš svesti na jednu rečenicu za skriptu:

• Domena: skup svih ulaza za koje funkcija radi bez pucanja.
• Kodomena: skup svih izlaza koje funkcija uopće smije proizvesti.

Kad ta dva skupa postaviš jasno, ostatak matematike postaje puno mirniji teren.

Razlika između slike i kodomene

Većina studenata na prvu stavi znak jednakosti između “kodomene” i “slike”. Iskreno, i ja sam to radio na faksu dok me prvi zadatak iz analize nije ošamario po nosu. A razlika je zapravo brutalno korisna — pogotovo kad jednom dođu surjekcije i injekcije pa sve krene kliziti ako to nemaš čisto u glavi.

Kodomena je *ono što funkciji službeno dopuštamo kao izlaz*. To je skup svih mogućih vrijednosti u koje funkcija “smije gađati”. Ne znači da će tamo ikad pogoditi, ali joj je to igralište.

Slika je, s druge strane, *ono što funkcija stvarno pogodi* kad provrtimo sve elemente iz domene. Dakle, stvarni skup izlaza koji se zaista pojave, ne teoretski, nego konkretno.

Jedan prizemljen primjer. Ako kažeš da je funkcija f: ℝ → ℝ zadata formulom f(x) = x², onda je:

• domena: svi realni brojevi
• kodomena: isto svi realni brojevi (tako smo je zadali)
• slika: samo nenegativni realni brojevi, jer x² nikad neće dati −3 ili −10.

I tu se vidi ključna stvar: slika je uvijek podskup kodomene. Ponekad se poklope — ali to je već priča o surjektivnosti.

Ako želiš imati čistu, urednu analizu funkcije (a vjeruj, profesori to vole vidjeti), dobro je steći malu rutinu:

– prvo jasno zapiši domenu i kodomenu koje si zadao

– tek onda, zasebno, izračunaj sliku iz konkretnih ulaza i formule

– drži na umu: svaki element slike živi u kodomeni, ali ne mora vrijediti obratno

Kasnije, kad ti netko kaže “ova funkcija nije surjektivna na ℝ”, odmah ćeš znati gdje treba gledati: slika ne pokriva cijelu kodomenu. I odjednom pojmovi poput surjektivnosti i injektivnosti nisu više neka apstraktna filozofija, nego vrlo konkretna igra skupova — tko gdje smije, a tko gdje stvarno završi.

Kako pronaći prirodnu domenu funkcije

Priča s domenama funkcija uvijek krene isto: netko pita “A što točno *smijem* uvrstiti umjesto x?”, a netko drugi baci napola ozbiljan odgovor: “Pa… sve što funkciji ne razbije matematiku.”

I zapravo, to i nije tako daleko od istine.

Kad pričaš o prirodnoj domeni funkcije, pričaš o svim onim x-vrijednostima za koje formula radi bez paničnog zvona u glavi tvog profesora.

—

Kako stvarno gledati na domenu (bez filozofije)

Kad dobiješ funkciju, recimo:

• običan razlomak
• nešto pod korijenom
• logaritam
• sinus, kosinus i slična ekipa

tvoj prvi zadatak nije “riješiti zadatak”, nego pročitati formulu kao tekst. Doslovno.

Gledaš dio po dio i pitaš se:

• Dijelim li ovdje možda s nulom?
• Stavljam li negativan broj pod parni korijen?
• Trpam li nulu ili negativan broj u logaritam?
• Pišem li nešto tipa tan(x), a znam da se tamo kriju rupe?

Čim naiđeš na “ovdje matematika više ne vrijedi u realnim brojevima” — to x leti van domene.

—

Kratka logika u pozadini

Nema tu velike magije.

Prirodna domena funkcije je:

> svi realni brojevi za koje formula ima smisla u standardnoj srednjoškolskoj/početnoj fakultetskoj matematici.

Dakle:

• Zbrajanje, oduzimanje, množenje? To možeš raditi sa svim realnim brojevima.
• Dijeljenje? Zabranjena je *samo* nula u nazivniku.
• Parni korijeni (√, četvrti korijen…)? Ono pod korijenom mora biti barem 0.
• Logaritmi? Argument mora biti strogo veći od 0.
• Trigonometrijske funkcije tipa sin, cos? One rade za sve realne brojeve.
• Ali tan(x), cot(x)? Tu nazivnik može otići na nulu za neke x, pa to moraš isključiti.

Sve što “puca” — ide van.

—

Mini ritual: kako ja provjeravam domenu

Neću ti dati sterilnu listu pravila, nego naviku koja stvarno spašava živce:

1. Prođem pogledom cijelu formulu

Ne preskačem. Čak i ako djeluje banalno. Najviše gafova se dogodi na “ma ovo je lako”.

2. Tražim opasne točke

Sve što izgleda kao razlomak, korijen, log, tangens… dobije dodatnu pažnju.

U glavi: “Što se ovdje *ne smije* dogoditi?”

3. Zapišem uvjete, ali što jednostavnije

Npr.

• nazivnik ≠ 0
• ono pod korijenom ≥ 0
• ono u logaritmu > 0

4. Riješim te uvjete kao mali zadatak

I na kraju ih spojim: domenu čini sve što zadovoljava *sve* uvjete odjednom.

5. Svjesno odbacim paranoju

Ne izbacujem ono što ne moram.

Ako nema razloga da broj leti van — ostaje unutra.

—

Jedan moj promašaj koji dobro objašnjava stvar

Na prvoj godini faksa dobili smo funkciju s korijenom i razlomkom u istom zadatku.

Ja sam, pun samopouzdanja, isključio hrpu brojeva “za svaki slučaj”.

Profesor je samo pogledao i rekao: “Zanimljivo… ti imaš funkciju koja je manje definirana od iste te funkcije u knjizi.”

Drugim riječima: izbacio sam previše.

To je jednako loše kao da si ostavio dijeljenje s nulom.

Tu sam si uveo pravilo:

*Ne izbacuj iz domene ono što ti nije jasno — samo ono što je jasno zabranjeno.*

—

Kako sve to sklopiti u uredan završetak

Kad si gotov s analizom, treba to i lijepo zapisati.

Najčešće ćeš koristiti intervalnu notaciju. Ne zato što je “modernija”, nego zato što:

• na jednoj liniji daš cijelu sliku
• jasno se vidi gdje su rupe
• lakše kasnije crtaš graf ili računaš daljnje stvari

Primjer: ako smiješ uzeti sve realne brojeve osim 2, zapisat ćeš:

> (-∞, 2) ∪ (2, +∞)

I gotovo. Nema romana.

—

Zašto se uopće zamarati domjenom?

Jer ti:

• spašava bodove na zadacima — kriva domena, pola rješenja pada u vodu
• gradi intuiciju — kad kreneš u složenije stvari (integrali, kompleksne funkcije), više nisi izgubljen
• štedi vrijeme — jednom kad ti postane refleks, doslovno uštediš i po 10–15 minuta po ispitu

A i onaj osjećaj kad netko na ploči računa tangent od kuta gdje ne smije, a ti to skužiš prije ostalih… malo je sladak, priznaj.

—

Ako želiš sebi olakšati život s funkcijama, uzmi ovo kao minimum:

• pažljivo *pročitaj* formulu
• identificiraj gdje matematika može puknuti
• izbaci samo te vrijednosti
• ostatak zapiši u intervalima

Domena nije ukras na početku zadatka.

To je sigurnosna provjera da sve poslije uopće ima smisla.

Posebni slučajevi: razlomci, korijeni, logaritmi i apsolutne vrijednosti

Kad se radi s domenama koje uključuju razlomke, korijene, logaritme ili apsolutne vrijednosti, učenik bi trebao provjeriti svaki dio zasebno i zatim zadržati samo one vrijednosti x koje zadovoljavaju sve uvjete odjednom.

U praksi to znači izbjegavati vrijednosti koje čine nazivnik jednak nuli, zahtijevati da izrazi pod korijenom budu nenegativni i koristiti samo pozitivne ulaze unutar logaritama, uz to da treba imati na umu kako apsolutne vrijednosti prihvaćaju sve realne brojeve, ali mogu promijeniti način na koji se intervali opisuju.

Domene s razlomcima

Prije nego što se krene kopati po domenama funkcija s razlomcima, vrijedi stati i napraviti ono što većina učenika preskoči: pitati se *što ovdje definitivno ne smije proći*.

Kod običnih razlomaka pravilo je brutalno jednostavno — ne dijelimo s nulom. Čim ti neki nazivnik postane nula, taj se x lijepo izbaci iz igre. To je to.

Ali matematika, naravno, voli stvari zakomplicirati, pa se razlomci često spoje s korijenima, logaritmima ili apsolutnim vrijednostima. Tu kreću “sitna slova ugovora”.

—

1. Nazivnik na nuli? Automatski out.

Kad vidiš razlomak, refleks ti treba biti isti kao kad provjeravaš račun u kafiću — tražiš gdje je problem.

Ako imaš, recimo:

[

f(x) = frac{2x + 1}{x – 3}

]

provjera domene kreće ovako:

– postaviš nazivnik na nulu:

(x – 3 = 0)

• dobiješ (x = 3)
• i *to* je vrijednost koju moraš izbaciti iz domene.

Sve ostalo prolazi.

U glavi to možeš držati ovako: “svugdje osim tamo gdje se račun raspada”.

—

2. Korijen u nazivniku — tu vrijede dvostruka pravila

Kad se u nazivniku pojavi korijen, priča postaje stroža. Nije više samo “ne smije biti nula”, nego i “ne smije biti negativno unutra”.

Primjer:

[

g(x) = frac{1}{sqrt{x – 4}}

]

Ovdje imaš dvije stvari odjednom:

• *unutra* korijena: (x – 4 ge 0 Rightarrow x ge 4)
• ali taj isti korijen je u nazivniku, pa ne smije biti nula:

(sqrt{x – 4} ne 0 Rightarrow x ne 4)

Kad to spojiš, ostaje:

– domena: (x > 4)

Jednom sam na brzinu pisao rješenja za cijeli razred i zaboravio izbaciti baš taj “rubni” slučaj (x = 4). Skoro cijeli razred je prepisao grešku. Profesori to vole — više bodova za minus.

—

3. Logaritmi u nazivniku — nikad nula, nikad negativno

Logaritmi su još malo stroži od korijena. Oni imaju svoje vlastite “živčane napade”:

Ako imaš:

[

h(x) = frac{5}{log_2(x – 1)}

]

moraš paziti na tri stvari:

1. argument logaritma mora biti pozitivan

(x – 1 > 0 Rightarrow x > 1)

2. logaritam ne smije biti nula (jer je u nazivniku)

(log_2(x – 1) ne 0)

to znači da (x – 1 ne 1 Rightarrow x ne 2)

3. sve to spojiš u jednu sliku:

– (x > 1), ali (x ne 2)

Drugim riječima: desna strana realne osi od 1 naviše, ali s rupom na 2.

Uvijek kad vidiš logaritam u nazivniku, u glavi upali alarm: “pozitivan argument, nula zabranjena”.

—

4. Apsolutna vrijednost u nazivniku — ne spašava od nule

Ovo je jedna od onih zamki koje izgledaju bezazleno.

Mnogi učenici misle: “Ako je apsolutna vrijednost, onda je sve super, to je uvijek nenegativno”. Da, nenegativno je — ali zna biti nula. I tu se sve ruši.

Primjer:

[

k(x) = frac{3x}{|x – 7|}

]

Apsolutna vrijednost ne dopušta negativne vrijednosti, ali 0 i dalje dolazi u obzir.

Zato:

• postaviš unutrašnjost na nulu: (x – 7 = 0)
• dobiješ (x = 7)
• i taj x mora van iz domene.

Ostatak realne osi može ostati.

Apsolutna vrijednost ti ne rješava problem dijeljenja s nulom — samo ti sakrije minus.

—

5. Kad se sve pomiješa u jednom zadatku

U stvarnim zadacima, naravno, dobit ćeš kombinacije svega ovoga.

Tipičan “paket”:

[

m(x) = frac{sqrt{x+2}}{(x-1),ln|x|}

]

Bez panike, ideš redom, kao da raščišćavaš radni stol:

– korijen u brojniku:

(x + 2 ge 0 Rightarrow x ge -2)

– faktor ((x – 1)) u nazivniku:

(x ne 1)

• logaritam:
• argument: (|x| > 0 Rightarrow x ne 0)
• (ln|x| ne 0 Rightarrow |x| ne 1 Rightarrow x ne 1, x ne -1)

Na kraju sve skupiš:

• kreneš od (x ge -2)
• izbaciš: (-1, 0, 1)

To je cijela filozofija: sakupi sve zabrane i izbaci ih iz domene.

—

Kratki mentalni “checklist” za razlomke

Kad ti u zadatku iskoči funkcija s razlomkom, napravi ovo:

• potraži *sve* nazivnike
• za svaki:
• provjeri gdje je nula
• ako ima korijen: traži *nenegativnost* unutar korijena, pa onda još isključi nulu
• ako ima logaritam: argument > 0, logaritam ≠ 0
• ako je apsolutna vrijednost: unutrašnjost ≠ 0

Ne treba ti nikakav “trik” ni formula za pamćenje napamet.

Domena je, u svojoj suštini, samo pristojan popis: “gdje ova funkcija uopće ima pravo postojati”. Kad to jednom povežeš s nekoliko konkretnih primjera, zadaci s razlomcima prestaju biti mina na svakom koraku i postanu — dosadno predvidljivi.

Ograničenja kvadratnih korijena

Osnovno pravilo s korijenima je jednostavno, ali ga mnogi preskaču i tu nastane kaos.

Kad god imaš kvadratni korijen, izraz unutar korijena mora biti ≥ 0. Nema pregovora.

Primjer: Ako je f(x) = √(x − 3), gledamo samo ono što je *unutra*: x − 3 ≥ 0.

Riješiš nejednadžbu: x ≥ 3.

I to ti je domena — svi realni brojevi od 3 nadalje.

—

Kratke, ali ključne smjernice za zadatke s korijenima:

• uvijek stavi “unutarnji” izraz pod korijenom ≥ 0
• riješi dobivenu nejednadžbu (ili više njih, ako ima više korijena)
• ako u istoj jednadžbi/izrazu imaš i nazivnik, obavezno to spojiš s pravilom da nazivnik ≠ 0 i tek onda određuješ domenu.

To je cijela filozofija: prvo zaštiti korijen, onda provjeri nazivnik, pa tek onda mirne glave računaš dalje.

Logaritmi i apsolutne vrijednosti

Nakon korijena, druga velika “opasna zona” za domenu su logaritmi i apsolutne vrijednosti — pogotovo kad se sve to zapetlja s razlomcima i korijenima. Tu učenici najčešće krenu računati napamet, a onda se čude zašto im profesor vraća zadatak s upitnikom preko pola stranice.

Logaritmi su jako strogi. Apsolutna vrijednost je, nasuprot tome, poprilično tolerantna. Kad ih spojiš, dobiješ kombinaciju “strogi roditelj + opušteni stric”. I ti moraš paziti na oboje.

—

Logaritmi: argument MORA biti strogo pozitivan

Logaritam ne trpi šale: argument mora biti > 0. Nema “možda”, nema “ali ovdje je skoro nula”.

– Ako imaš log(x² + 1), to je zapravo “fina” funkcija.

x² je uvijek ≥ 0, pa je x² + 1 uvijek ≥ 1. Dakle, *za svaki realan x* argument je pozitivan, log je definiran svugdje.

– Ali ako piše log(2 − x), tu stvari postaju zanimljive:

2 − x > 0 ⇒ x < 2.

Jedna jednostavna nejednadžba i već imaš uvjet za domenu.

U praksi:

kad vidiš log(NEŠTO), tvoj prvi refleks treba biti:

“Dobro, to NEŠTO mora biti > 0. Ajde da to odmah riješim.”

—

Apsolutna vrijednost: prima sve, ali mijenja ponašanje

Apsolutna vrijednost |x| je kao univerzalna utičnica — prima sve realne brojeve.

• |x| je definirano za svaki realan x.
• Problem s domenom *ne nastaje* zbog apsolutne vrijednosti, nego zbog onoga što je oko nje: u nazivniku, u logaritmu, pod korijenom…

Primjer:

(jer je apsolutna vrijednost jednaka 0 samo kad je unutra 0)

2. Korijen u nazivniku:

√(x + 2) mora postojati ⇒ x + 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ −2

ali isto tako ne smije biti 0 u nazivniku ⇒ √(x + 2) ≠ 0 ⇒ x + 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ −2.

Zajedno: x > −2.

3. Spoji uvjete:

x > −2 i x ≠ 1.

Domena je: (−2, 1) ∪ (1, +∞).

To je cijela filozofija:

svaka “osjetljiva” komponenta (log, razlomak, korijen) daje svoj uvjet, a ti ih na kraju spojiš — tražiš presjek svih uvjeta.

—

Kratko pravilo za pamćenje

• Logaritmi: argument > 0
• Apsolutna vrijednost: uvijek definirana; gledaš samo što je oko nje
• Razlomci: nazivnik ≠ 0
• Korijeni (kvadratni): izraz pod korijenom ≥ 0, a ako je u nazivniku — još i ≠ 0

Ako si kod svakog zadatka discipliniran i *prvo* provjeriš ova pravila prije bilo kakvog računanja, u startu si riješio pola tipičnih grešaka iz domene.

Grafovi funkcija i očitavanje domene iz grafa

Ako imaš nacrtanu funkciju na koordinatnom sustavu, čitanje domene je jedna od onih stvari koje svi kompliciraju, a zapravo je dosta jednostavna priča.

Krenimo od osnove: graf funkcije je skup svih uređenih parova ((x, y)) koji “žive” na toj krivulji. Svaka točka koju vidiš tamo je jedan konkretan ulaz (x) i izlaz (y).

—

Kako “pročitati” domenu s grafa

Ne treba ti formula, ne treba ti učenje napamet. Domena se čita očima:

• Gledaš x-os i pomičeš pogled slijeva nadesno.
• Za svaki x se pitaš: *Postoji li iznad ili ispod ovog x-a neka točka grafa?*

Ako iznad nekog x-a (ili ispod, svejedno) vidiš barem jednu točku krivulje, taj x je u domeni. Ako postoji rupa, praznina, “prerez” – znači da za taj x funkcija nije definirana.

To je cijela filozofija. Ali da bude konkretnije:

• Ako je crta “puna” od, recimo, x = −3 do x = 5, bez prekida, onda je domena od −3 do 5.
• Ako na kraju vidiš pune točkice (popunjene kružiće), ti krajevi ulaze u domenu.
• Ako su krajevi označeni praznim kružićima, to je jasan znak: “ovdje se približavamo, ali ovaj x nije dopušten”.

Na papiru bi to zapisao, recimo, ovako:

• puna crta od −2 do 4 s punim krajevima → domena: ([-2, 4])
• ista stvar, ali s praznim kružićima → domena: ((-2, 4))

—

Gdje domena “puca”

Postoje tipične situacije gdje graf odjednom nestane ili “preskoči”:

• Dijeljenje s nulom – recimo funkcija s nazivnikom ((x – 1)). Na x = 1 ćeš vidjeti rupu ili asimptotu; taj x automatski ispada iz domene.
• Korijen parnog stupnja iz negativnog broja (u realnim brojevima) – ispod grafa nema ništa za te x-e; jednostavno prazno.
• Logaritmi poput (log(x)) – cijeli graf je desno od nule, lijevo od 0 nema ničega.

Na grafu to ne mora biti napisano, ali praznina govori sve. Ako nema crte, nema ni tog x-a u domeni.

—

Brza provjera: vertikalna linija

Jedan trik koji profesori ne prestaju ponavljati je vertikalni test.

Zamisliš da spuštaš okomite linije (x = konstanta) po cijelom grafu. Ako neka vertikalna linija presiječe graf u više od jedne točke, to nije funkcija.

Za domenu ti to dobro dođe kao brza provjera:

– ako si odlučio da je neki x u domeni, onda bi za taj x trebala postojati točno jedna y-vrijednost na grafu. Ništa “dvije za svaki slučaj”.

—

Mali, praktični ritual za ispite

Kad dobiješ zadatak “odredi domenu s grafa”, radi ovako (ovo je rutina koja mi je spasila živce na više testova):

1. Pronađi krajnji lijevi i krajnji desni dio grafa. Pogledaj jesu li krajevi označeni punim ili praznim točkama, ili strelicama (strelica obično znači “ide u beskonačnost”).
2. Uoči prekide. Svaki “skok”, rupa ili okomita asimptota znači da se domena dijeli na više dijelova.
3. Zapiši domenu intervalima. Na primjer: ((-infty, -1) cup (-1, 3] cup (4, infty)).
4. Na kraju u glavi preleti x-os još jednom, s lijeva na desno. Ako ti pogled negdje “propadne” u prazno, a u domeni si to ipak zapisao – znaš da trebaš ispravak.

—

Ako sve ovo zvuči prejednostavno, to je dobar znak. Domena s grafa nije test inteligencije nego test pažnje. Gledaj gdje graf *zapravo postoji* — to je tvoja domena.

Vrste funkcija i njihova tipična područja definiranja

Različite vrste funkcija nose sa sobom i *tipične* domene — one koje profesori vole da znaš “iz rukava”.

Ali uvijek postoji kvaka, pa to shvati više kao polaznu točku nego kao sveto pismo.

Krenimo od onih najpitomijih.

Linearna funkcija, f(x) = mx + b, i kvadratna, f(x) = ax² + bx + c, uobičajeno žive na cijelom skupu realnih brojeva ℝ.

Nema korijena, nema logaritama, nema nazivnika koji bi mogli zapeti — pa je domena jednostavno ℝ.

Tu dolazimo do onih koje traže malo opreza:

– Racionalne funkcije (recimo f(x) = 1/(x − a)) imaju jednu klasičnu zabranu: nazivnik ne smije biti nula.

Onaj x koji taj nazivnik čini nultim — izbacuješ iz domene.

Sve ostalo prolazi.

– Korijenske funkcije tipa f(x) = √(x − a) imaju svoj uvjet preživljavanja: ono što stoji pod korijenom mora biti ≥ 0.

Dakle, tražiš x ≥ a.

Ako je unutra negativno, funkcija se u skupu realnih brojeva uopće ne definira.

– Logaritamske funkcije, log_b(x), imaju još strože pravilo: argument logaritma mora biti *strogo pozitivan*.

Nema nule, nema minusa.

Dakle, x > 0 — tek tada log_b(x) ima smisla u realnim brojevima.

Sve ovo zvuči zgodno kao “šalabahter za domenu”, ali realnost je malo manje uredna.

Čim ti se u istoj funkciji pomiješaju razlomci, korijeni i logaritmi, tipično pravilo prestaje biti dovoljno.

Zato je zlatno pravilo zapravo vrlo jednostavno: gledaj *konkretan* izraz i hladne glave provjeri gdje “puca” — gdje dijeliš s nulom, gdje bi uzimao korijen iz negativnog, ili logaritam od nečega što ne smije ući.

Tu se domena lomi.

Sve ostalo je dopušten teren.

Domena u naprednim kontekstima: kompleksna analiza i teorija kategorija

Kad prvi put čuješ riječ *domena* u matematici, obično znači ono najbanalnije: “ne dijeli s nulom” i “ne guraj negativan broj pod drugi korijen”. Znaš ono, skup dozvoljenih ulaza, sve što kalkulator neće raznijeti u error.

Ali kako kreneš dublje, ista ta riječ počne se ponašati kao da je upisala poslijediplomski. U kompleksnoj analizi i teoriji kategorija, “domena” više nije samo lista dozvoljenih x-eva, nego poprimi prilično precizno, tehničko značenje.

—

Kompleksna analiza: domena nije bilo kakav komad ℂ

U kompleksnoj analizi, “domena” znači: otvoren, povezan podskup kompleksne ravnine ℂ.

Otvoren — znači da svakoj točki u skupu možeš oko nje ucrtati mali krug koji cijeli leži u tom skupu. Nema “sjedenja na rubu”.

Povezan — svaku dviju točaka možeš spojiti putanjom koja cijela ostaje unutra.

Drugim riječima, domena je nešto kao kvart bez ograde: možeš se šetati kako hoćeš, nema rupa, nema zidova, ali rub formalno ne ulazi unutra. Te rubne točke postoje, ali nisu dio domene — i baš zbog toga granica domene postaje poseban lik u priči: mjesto gdje se igraju rubni problemi, Dirichletovi uvjeti, maksimumski principi…

Zašto je to bitno? Zato što holomorfne (analitičke) funkcije jako vole “lijepo” okruženje. Da bi se sva ona čuda iz kompleksne analize uopće događala — Cauchyjeve integralne formule, analitičko proširenje, jedinstvenost po vrijednostima — trebaš baš ovakav tip skupa: otvoren, povezan, bez rubnih točaka unutra. To je njihovo prirodno stanište.

—

Teorija kategorija: domena kao izvor strelice

Onda dođeš u teoriju kategorija i ista riječ te dočeka — ali igra sasvim drugu ulogu.

Tu “domena” neke strelice

[

f : A to B

]

nije “skup ulaza” u uobičajenom smislu, nego početni objekt te strelice. Dakle, ono A — objekt iz kojeg strelica kreće.

Kod funkcija skupova to se poklapa s intuicijom “skup ulaza”, ali kategorije idu šire: objekti ne moraju biti skupovi, a “ulazi” se više ne mjere elementima, nego morfizmima.

Tu onda u igru ulaze i:

• potobjekti — nešto kao “poddomenе”, ali definirane preko *monomorfizama* (u Setu to su injekcije). Ne govoriš više “U je podskup od A”, nego imaš morfizam (m : U hookrightarrow A).
• ograničenja (restrikcije) — kada “sužavaš” domenu nekog morfizma na potobjekt. Ne režeš elemente, režeš kroz dijagram.

Umjesto da brojiš koje su vrijednosti “dozvoljene”, pitaš se: *kakve su relacije dopuštene?* To je ona kategorijska promjena perspektive — sve postaje priča o strelicama i njihovu međusobnom slaganju.

—

Mala “mapa” značenja — bez tablice, da ne glumi skriptu

Ako složimo sve u glavi, riječ *domena* kroz nivoe matematike izgleda otprilike ovako:

• u školskim funkcijama: “skup dozvoljenih ulaza”, tamo gdje ne kršiš pravila tipa dijeljenje s nulom
• u kompleksnoj analizi: otvoren, povezan podskup ℂ, bez vlastitih rubnih točaka, idealna pozornica za holomorfne funkcije i teoriju rubnih vrijednosti
• u teoriji kategorija: početni objekt strelice, polazište morfizma, uz cijeli aparat potobjekata preko monomorfizama i restrikcija koje finije opisuju što znači “sužavanje domene”

Ista riječ, tri potpuno različita sloja priče. Ako je na razini srednje škole domena samo “popis dopuštenih x-eva”, u kompleksnoj analizi postaje geometrijski lik u ℂ, a u kategorijskoj priči — čisti objekt-izvor apstraktne relacije.

Zadaci za vježbu i detaljno razrađeni primjeri korak po korak

Skup zadataka je onaj dio skripte gdje domena funkcije napokon prestane biti “apstraktna definicija iz udžbenika” i postane nešto što stvarno radiš rukama — olovkom, gumicom i pokojom psovkom kad ful‑aš minus.

Ovdje učenik više ne gleda u definiciju, nego stvarno prolazi kroz konkretne primjere i traži: *za koja je točno x ova funkcija uopće dopuštena*? Drugim riječima, gdje nema nikakvih zabranjenih računskih situacija.

Pa to izgleda ovako, u praksi:

Prvo naiđeš na racionalnu funkciju. Ona klasična razlomačka funkcija s x‑om u nazivniku. Tu ti odmah zvoni alarm: nazivnik ne smije biti nula. To znači da prvo mirno izdvojiš sve vrijednosti x koje bi nazivnik pretvorile u nulu — i hladno ih prekrižiš iz skupa dozvoljenih x. I tu je pola učenika već doživjelo svoj prvi “aha” trenutak: domena nije sve osim onoga što *zaboravim*, nego sve osim onoga što *svjesno isključim*.

Onda dođu korijenske funkcije. Čim vidiš kvadratni korijen, znaš da ono što je ispod njega ne smije biti negativno. Dakle, pišeš uvjet da izraz pod korijenom mora biti ≥ 0, rješavaš tu nejednadžbu kao bilo koju drugu i dobiješ konkretan skup x‑eva na kojima funkcija uopće ima smisla. Sjećam se kad sam jednom to preskočio pa dobio “rješenje” koje bi značilo korijen iz −5… Profesor je samo pogledao i rekao: “Ovo je lijepo, ali ne postoji.”

Treća skupina su logaritamske funkcije. Tu je uvjet još stroži: argument logaritma mora biti strogo veći od nule. Nema jednakosti, nema 0, nema minusa. Dakle, čim vidiš log(nekog izraza), taj “neki izraz” postaje tvoj glavni lik u priči: postavljaš uvjet > 0, rješavaš nejednadžbu i to rješenje ti je baza za domenu.

Najkorisniji dio svima su ipak vođeni primjeri. Ne oni tipa “riješeno u tri reda pa snađi se”, nego oni gdje svaki korak stoji jasno:

– prvo se napiše koji je uvjet (npr. nazivnik ≠ 0, izraz pod korijenom ≥ 0, argument logaritma > 0)

– zatim se ta nejednadžba stvarno riješi, do kraja, bez preskakanja

– i tek onda se, na temelju toga, napiše domena u obliku skupa ili intervala

Kad učenik to ponovi desetak puta, domena prestane biti nešto što se pita “usput” na početku zadatka i postane normalan, automatski dio rješavanja. Upravo to je cilj ovog poglavlja: da se svaki put kad vidiš novu funkciju, u glavi odmah javi ono jednostavno pitanje — *“Gdje je ova funkcija uopće dozvoljena?”* — i da znaš na to odgovoriti bez paničnog listanja formula u zadnjem džepu bilježnice.

Često postavljana pitanja

Kako se domena funkcije koristi pri rješavanju stvarnih (praktičnih) problema?

Domena funkcije koristi se za određivanje koji su ulazni podaci uopće smisleni u stvarnom problemu.

• Kod fizike, vrijeme ne može biti negativno, pa je domena t ≥ 0.
• Kod ekonomije, broj proizvoda mora biti cijeli i nenegativan.
• Kod medicine, doza lijeka ima donju i gornju granicu.

Time se izbjegavaju nerealna rješenja i pogrešne odluke u praksi.

Kako softverski alati (npr. GeoGebra) automatski određuju domenu funkcije?

Softverski alati određuju domenu tako da prvo “čitaju” zapis funkcije, zatim automatski traže zabranjene vrijednosti.

Provjeravaju gdje je nazivnik jednak nuli, gdje je izraz pod korijenom negativan i gdje je argument logaritma nepozitivan.

Na osnovi tih uvjeta formiraju skup dozvoljenih x‑vrijednosti.

Kod složenijih funkcija oslanjaju se na interna pravila, numeričke provjere i ponekad ograničenja koja zada korisnik.

Kako domene funkcija utječu na ispravnost matematičkih dokaza?

Domene funkcija izravno utječu na ispravnost dokaza, jer svaki korak mora vrijediti za sve dopuštene ulaze.

Ključne točke:

• Ako se domena pogrešno proširi, koristi se vrijednost za koju funkcija nije definirana.
• Ako se domena nesvjesno suzi, dokaz postaje nepotpun.
• Pri koracima poput dijeljenja, korijena, logaritma, uvijek treba jasno zapisati uvjete na varijable i provjeriti da nijedan korak ne izlazi iz zadane domene.

Kako se domena mijenja pri numeričkom rješavanju jednačina na računalu?

Pri numeričkom rješavanju domen se često sužava, ne ostaje magično isti.

Računalo radi s približnim brojevima, pa:

• Isključuju se točke gdje dolazi do dijeljenja s nulom ili logaritma negativnog broja.
• Uvode se intervali pretrage, npr. traži se rješenje samo na [0,1].
• Prave se diskretne mreže točaka, pa se domen pretvara u skup odabranih vrijednosti.

Učenik uvijek treba eksplicitno navesti taj efektivni domen.

Postoji li razlika između „definicijskog područja” i „domene” u udžbenicima?

Ne postoji stvarna razlika u značenju, ali postoji razlika u upotrebi.

U većini školskih udžbenika:

• „Definicijsko područje” koristi se u školama, posebno u osnovnoj i srednjoj, za skup svih dozvoljenih ulaza funkcije.
• „Domena” je kraći, praktičan naziv, češći u višoj matematici i informatici.

Preporuka: učenik može smatrati ta dva pojma sinonimima, osim ako udžbenik izričito razlikuje.