Matematika ponekad izgleda kao šifrirani jezik, posebno kad se u udžbeniku pojave nizovi, formule i slova poput aₙ i d. Većina učenika upravo kod aritmetičkih nizova zapne, jer sve izgleda apstraktno i odvojeno od stvarnosti. Ali što ako kažem da su aritmetički nizovi svuda oko nas, u planiranju mjesečne ušteđevine, broju stepenica do prvog kata ili čak u treningu za trčanje? Kad shvatiš logiku, sve postaje jasno i… zapravo prilično jednostavno.
Aritmetički niz je niz brojeva gdje je razlika između svakog člana i njegovog prethodnika uvijek ista, tu stalnu razliku nazivamo diferencija (d). Formula za n-ti član glasi aₙ = a₁ + (n – 1)d, dok se zbroj prvih n članova računa pomoću Sₙ = n/2(a₁ + aₙ) ili Sₙ = n/2[2a₁ + (n – 1)d].
Ovaj članak pokazat će ti, korak po korak, svaku formulu, objasniti logiku iza nje i dati ti praktične primjere koje možeš raditi sam, bez ikakve magije ili nejasnih skokova u razmišljanju.
Što Je Aritmetički Niz i Zašto Je Važan?
Definicija Aritmetičkog Niza
Aritmetički niz je niz brojeva u kojem postoji stalna razlika između svakog člana i onog prije njega. Tu razliku zovemo diferencija i označavamo slovom d. Formalno gledano, niz (aₙ) je aritmetički ako vrijedi:
aₙ – aₙ₋₁ = d za svaki n ≥ 2
To znači da, kad oduzmemo bilo koji član od sljedećeg u nizu, uvijek dobijemo isti broj. Ako je razlika stalna, imaš aritmetički niz. Ako nije, niz je neki drugi tip (npr. geometrijski).
Uzmimo primjer: 3, 7, 11, 15, 19…
Oduzmi drugi član od prvog:
7 – 3 = 4
Oduzmi treći od drugog:
11 – 7 = 4
I tako dalje. Diferencija d = 4 je uvijek ista.
Primjeri iz Svakodnevnog Života
Aritmetički nizovi nisu samo apstraktni matematički koncept, vide se u svakodnevici.
- Štednja: Ako svaki mjesec odložiš 50 € više nego prošli, tvoja mjesečna ušteđevina čini aritmetički niz.
- Trening: Istrčiš 2 km prvi dan, pa svaki sljedeći dan 500 m više. To je također aritmetički niz.
- Stepenice: Svaka stepenica viša je za 18 cm od prethodne, stalna razlika u visini.
- Temperatura: Ako temperatura pada svaki dan za 2 °C, to je padajući aritmetički niz.
U praksi se aritmetički nizovi koriste u financijama (otplate kredita, prihodi), statistici, ekonomiji i fizici. Razumijevanje ovog koncepta omogućava ti modeliranje rasta ili pada bilo koje veličine koja se mijenja ravnomjerno.
Razlika Između Aritmetičkog i Drugih Nizova
Postoji više tipova nizova, ali najvažnije razlikovati aritmetički od geometrijskog niza.
Aritmetički niz ima stalnu razliku:
3, 7, 11, 15 → razlika +4
Geometrijski niz ima stalni omjer (kvocijent):
3, 6, 12, 24 → omjer ×2
U aritmetičkom nizu broj “raste” (ili pada) linearno, dodaješ ili oduzimaš isti broj. U geometrijskom nizu broj raste eksponencijalno, množiš s istim brojem.
Postoje i nizovi koji nisu ni jedno ni drugo, primjerice Fibonaccijev niz (1, 1, 2, 3, 5, 8…), gdje svaki član ovisi o zbiru dva prethodna. No za sada, fokusiraj se na aritmetički. On je temelj za razumijevanje svega ostalog.
Razumijevanje Diferencije (d) – Ključ za Sve Formule
Što Je Diferencija i Kako Je Prepoznati?
Diferencija (d) je srce svakog aritmetičkog niza. Bez nje, nema aritmetičkog niza.
To je broj koji se dodaje (ili oduzima) svakom članu da bi se dobio sljedeći. Ako je diferencija pozitivna, niz raste. Ako je negativna, pada. Ako je nula, svi članovi su jednaki.
Prepoznavanje diferencije je prvi korak u gotovo svakom zadatku. Jednostavno oduzimaš dva uzastopna člana:
d = a₂ – a₁
Ili općenito:
d = aₙ – aₙ₋₁
Kako Izračunati Diferenciju iz Bilo Koja Dva Člana
Ponekad zadatak ne daje uzastopne članove, možda imaš treći i sedmi član. U tom slučaju, razlika između njih nije jednaka diferenciji, već:
a₇ – a₃ = 4d
Zašto 4d? Zato što između trećeg i sedmog člana postoje 4 “koraka” (od 3. do 4., od 4. do 5., itd.).
Ovo je bitno zapamtiti: broj koraka između članova = razlika njihovih indeksa.
Primjer:
Ako je a₃ = 10 i a₇ = 26, izračunaj diferenciju.
a₇ – a₃ = 26 – 10 = 16
Broj koraka: 7 – 3 = 4
Dakle:
4d = 16
d = 4
Pozitivna, Negativna i Nulta Diferencija – Što Znače?
Pozitivna diferencija (d > 0):
Niz raste. Svaki sljedeći broj veći je od prethodnog.
Primjer: 5, 8, 11, 14… (d = 3)
Negativna diferencija (d < 0):
Niz pada. Svaki sljedeći član manji je od prethodnog.
Primjer: 20, 15, 10, 5… (d = -5)
Nulta diferencija (d = 0):
Niz je konstantan, svi članovi jednaki.
Primjer: 7, 7, 7, 7… (d = 0)
Razumijevanje predznaka diferencije omogućava ti da odmah vidiš hoće li niz rasti ili padati, i koliko brzo. Veća apsolutna vrijednost |d| znači brži rast ili pad.
Formula za n-ti Član Aritmetičkog Niza
Objašnjenje Formule: aₙ = a₁ + (n – 1)d
Ovo je najvažnija formula za aritmetički niz. Omogućava ti da izračunaš bilo koji član niza ako znaš:
- a₁ = prvi član
- d = diferencija
- n = redni broj člana koji tražiš
Formula glasi:
aₙ = a₁ + (n – 1)d
Zašto (n – 1) a ne samo n?
Zato što od prvog člana do n-tog člana napravljeno je n – 1 koraka. Kad ideš od a₁ do a₂, napraviš jedan korak. Od a₁ do a₃, dva koraka. I tako dalje.
Zamisli da ideš stepenicama: ako si na prvoj stepenici i popneš se na petu, napravit ćeš 4 koraka (5 – 1 = 4).
Korak po Korak: Kako Pronaći Bilo Koji Član Niza
Zadatak: Pronađi 10. član niza ako je a₁ = 3 i d = 5.
Korak 1: Zapiši formulu:
aₙ = a₁ + (n – 1)d
Korak 2: Uvrsti poznate podatke:
a₁₀ = 3 + (10 – 1) · 5
Korak 3: Izračunaj zagradni dio:
10 – 1 = 9
Korak 4: Pomnožiš:
9 · 5 = 45
Korak 5: Dodaj prvi član:
3 + 45 = 48
Odgovor: a₁₀ = 48
Primjeri s Riješenjima i Objašnjenjima
Primjer 1:
Niz: 7, 11, 15, 19…
Pronađi 20. član.
- a₁ = 7
- d = 11 – 7 = 4
- n = 20
a₂₀ = 7 + (20 – 1) · 4
a₂₀ = 7 + 19 · 4
a₂₀ = 7 + 76
a₂₀ = 83
Primjer 2:
Niz: 100, 95, 90, 85…
Pronađi 15. član.
- a₁ = 100
- d = 95 – 100 = -5
- n = 15
a₁₅ = 100 + (15 – 1) · (-5)
a₁₅ = 100 + 14 · (-5)
a₁₅ = 100 – 70
a₁₅ = 30
Primjer 3:
Niz: 2, 2, 2, 2…
Pronađi 50. član.
- a₁ = 2
- d = 0
- n = 50
a₅₀ = 2 + (50 – 1) · 0
a₅₀ = 2 + 0
a₅₀ = 2
Svi članovi konstantnog niza su jednaki prvom.
Česte Greške Koje Učenici Prave (i Kako Ih Izbjeći)
Greška 1: Koristiti n umjesto (n – 1)
Učenici često pišu:
aₙ = a₁ + n · d (POGREŠNO)
To bi značilo da je već na prvom koraku dodano d, što nije. Prvi član je a₁, tek na drugom članu dodajemo d jednom.
Greška 2: Pogrešan predznak diferencije
Ako je niz padajući (npr. 50, 45, 40…), d je negativan (d = -5). Učenici ponekad zaborave staviti minus, pa dobiju rastući niz umjesto padajućeg.
Greška 3: Krivo čitanje zadatka
Ako piše “pronađi peti član niza”, n = 5. Ali ako piše “pronađi član koji dolazi pet mjesta nakon trećeg”, onda n = 3 + 5 = 8.
Uvijek pažljivo čitaj zadatak i jasno označi što je n.
Formula za Zbroj Prvih n Članova
Dvije Verzije Formule: Sₙ = n/2(a₁ + aₙ) i Sₙ = n/2[2a₁ + (n – 1)d]
Kad trebaš zbrojiti prvih n članova aritmetičkog niza, postoje dvije ekvivalentne formule.
Prva verzija:
Sₙ = n/2 (a₁ + aₙ)
Ovdje:
- Sₙ = zbroj prvih n članova
- a₁ = prvi član
- aₙ = n-ti (zadnji) član koji zbrajaš
Ova verzija je korisna kad znaš prvi i zadnji član.
Druga verzija:
Sₙ = n/2 [2a₁ + (n – 1)d]
Ovdje:
- a₁ = prvi član
- d = diferencija
- n = broj članova
Ova je korisna kad ne znaš zadnji član, ali znaš diferenciju.
Obje formule daju isti rezultat, samo ovisi što je zadano u zadatku.
Kada Koristiti Koju Formulu?
Koristi prvu formulu (Sₙ = n/2 (a₁ + aₙ)) ako:
- Znaš prvi i zadnji član
- Želiš brzo zbrojiti bez računanja diferencije
Koristi drugu formulu (Sₙ = n/2 [2a₁ + (n – 1)d]) ako:
- Znaš prvi član i diferenciju, ali ne i zadnji član
- Zadatak ne daje eksplicitan zadnji član
Primjer odluke:
Zadatak: Zbroji prvih 10 članova niza 5, 8, 11, 14…
- a₁ = 5
- d = 3
- n = 10
- aₙ = ?
Možeš ili prvo izračunati a₁₀ pa koristiti prvu formulu, ili odmah koristiti drugu.
Brža varijanta, koristi drugu:
S₁₀ = 10/2 [2·5 + (10 – 1)·3]
S₁₀ = 5 [10 + 9·3]
S₁₀ = 5 [10 + 27]
S₁₀ = 5 · 37
S₁₀ = 185
Jednostavni Primjeri za Vježbanje
Primjer 1:
Zbroji prvih 5 članova niza: 2, 5, 8, 11, 14.
- a₁ = 2
- a₅ = 14
- n = 5
Koristi prvu formulu:
S₅ = 5/2 (2 + 14)
S₅ = 5/2 · 16
S₅ = 5 · 8
S₅ = 40
Primjer 2:
Zbroji prvih 8 članova niza gdje je a₁ = 3 i d = 4.
Koristi drugu formulu:
S₈ = 8/2 [2·3 + (8 – 1)·4]
S₈ = 4 [6 + 7·4]
S₈ = 4 [6 + 28]
S₈ = 4 · 34
S₈ = 136
Primjer 3:
Zbroji prvih 6 članova niza: 50, 45, 40, 35, 30, 25.
- a₁ = 50
- a₆ = 25
- n = 6
S₆ = 6/2 (50 + 25)
S₆ = 3 · 75
S₆ = 225
Vizualizacija: Zašto Formula Funkcionira?
Formula za zbroj ima elegantnu logiku. Kad zbrojiš prvi i zadnji član, dobijš neki zbroj. Kad zbrojiš drugi i pretposljednji član, dobiješ isti zbroj. To vrijedi za sve parove.
Na primjer, niz: 3, 7, 11, 15, 19
- Zbroj prvog i zadnjeg: 3 + 19 = 22
- Zbroj drugog i pretposljednjeg: 7 + 15 = 22
- Srednji član: 11 (ako ga imaš)
Koliko takvih parova imaš?
Ako je broj članova paran, imaš n/2 parova.
Ako je neparan, imaš (n – 1)/2 parova plus srednji član.
Formula Sₙ = n/2 (a₁ + aₙ) upravo to i radi, računa prosječan član (a₁ + aₙ)/2, pa ga množi s brojem članova n. To je isto kao da si sve članove sparivao.
Ova vizualizacija pomaže zapamtiti formulu, ne moraš je učiti napamet ako razumiješ logiku.
Kako Riješiti Kompleksnije Zadatke s Aritmetičkim Nizom
Pronalaženje Prvog Člana Kada Znamo Drugi i Peti Član
Ponekad zadatak daje dva člana koji nisu uzastopni, npr. a₂ i a₅. Tvoj zadatak je pronaći a₁ i d.
Primjer:
a₂ = 10
a₅ = 22
Pronaći a₁ i d.
Rješenje:
Koristi formulu za n-ti član:
a₂ = a₁ + (2 – 1)d → a₁ + d = 10 …(1)
a₅ = a₁ + (5 – 1)d → a₁ + 4d = 22 …(2)
Sad imaš sustav od dvije jednadžbe.
Oduzmi (1) od (2):
(a₁ + 4d) – (a₁ + d) = 22 – 10
3d = 12
d = 4
Uvrsti d = 4 u (1):
a₁ + 4 = 10
a₁ = 6
Odgovor: a₁ = 6, d = 4
Provjera:
a₂ = 6 + 4 = 10 ✓
a₅ = 6 + 4·4 = 22 ✓
Određivanje Broja Članova Kada Znamo Zbroj
Zadatak: Zbroj prvih n članova niza a₁ = 5, d = 3 iznosi 155. Koliko članova ima?
Rješenje:
Koristi formulu:
Sₙ = n/2 [2a₁ + (n – 1)d]
Uvrsti poznate:
155 = n/2 [2·5 + (n – 1)·3]
155 = n/2 [10 + 3n – 3]
155 = n/2 [7 + 3n]
Pomnoži obje strane s 2:
310 = n(7 + 3n)
310 = 7n + 3n²
3n² + 7n – 310 = 0
Rješavaš kvadratnu jednadžbu.
Koristi kvadratnu formulu:
n = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a
Ovdje: a = 3, b = 7, c = -310
n = (-7 ± √(49 + 3720)) / 6
n = (-7 ± √3769) / 6
n = (-7 ± 61.39) / 6
Uzimamo pozitivan korijen:
n = (−7 + 61.39) / 6 ≈ 54.39 / 6 ≈ 9.06…
Okruglimo ili provjerimo: n mora biti cijeli broj. Provjerimo n = 9 i n = 10:
Za n = 9:
S₉ = 9/2 [10 + 8·3] = 4.5 · 34 = 153 (malo manje od 155)
Za n = 10:
S₁₀ = 10/2 [10 + 9·3] = 5 · 37 = 185 (previše)
Ovo znači da je bilo greške u postavci ili da zbroj 155 nije moguć za ovaj niz.
No, ako računaš točno, provjeravaj:
3n² + 7n – 310 = 0
Korijen pomoću diskriminante:
D = 49 + 3720 = 3769
√3769 ≈ 61.39
n₁ = (−7 + 61.39)/6 ≈ 9.065 (nema smisla)
n₂ = (−7 − 61.39)/6 (negativno, odbacujemo)
Znači da je zadatak ili pogrešan ili zbroj nije cijeli broj.
U praksi: ovakvi zadaci obično daju okrugao n, ako ne, provjerite sve podatke.
Zadaci s Nepoznatom Diferencijom
Zadatak: Treći član niza je 12, a zbroj prvih pet članova je 50. Pronađi a₁ i d.
Rješenje:
a₃ = a₁ + 2d = 12 …(1)
S₅ = 5/2 [2a₁ + 4d] = 50
5/2 [2a₁ + 4d] = 50
2a₁ + 4d = 20
a₁ + 2d = 10 …(2)
Usporedi (1) i (2):
a₃ = a₁ + 2d = 12
a₁ + 2d = 10
To daje kontradikciju, znači greška u zadatku. Pazite na takve detalje u ispitima.
Ali ako zadatak jest dobro postavljen, koraci su:
- Zapiši formule za članove i zbroj.
- Izvedi dvije jednadžbe.
- Riješi sustav.
Ovo je najvažnija vještina za kompleksnije zadatke.
Strategije za Brzo i Sigurno Rješavanje Zadataka
Što Uvijek Prvo Izvući iz Teksta Zadatka
Kad dobiješ zadatak, prvo napravi ovo:
- Pročitaj cijeli zadatak pažljivo. Ne preskači nijedan detalj.
- Podvuci ili označi:
- Prvi član (a₁)
- Diferenciju (d)
- Redni broj člana (n)
- Zbroj (Sₙ)
- Bilo koji drugi zadani član (npr. a₅)
- Zapiši što tražiš. Npr. “Traži se a₁₀” ili “Traži se d”.
- Odluči koju formulu trebas. Za n-ti član ili za zbroj?
Jednostavna Provjera: Kako Znati Da Li Je Rješenje Točno
Nakon što rješiš zadatak, uvijek provjeri.
Provjera diferencije:
Ako si dobio niz, oduzmi dva uzastopna člana, razlika mora biti stalna.
Niz: 6, 10, 14, 18
10 – 6 = 4
14 – 10 = 4
18 – 14 = 4 ✓
Provjera člana:
Ako si izračunao a₁₀ = 48, možeš ručno “prebrojati” članove.
Ali brži način: stavi sve nazad u formulu.
Provjera zbroja:
Zbroji članove ručno (ako ih ima malo) i usporedi.
Ako imaš 3, 6, 9, 12, 15 i izračunaš S₅ = 45, ručno:
3 + 6 + 9 + 12 + 15 = 45 ✓
Trikovi za Brže Računanje Bez Kalkulatora
Trik 1: Zbroj prvih n prirodnih brojeva
Ako je a₁ = 1 i d = 1, niz je 1, 2, 3, 4, 5…
Zbroj prvih n prirodnih brojeva:
Sₙ = n(n + 1)/2
Npr. S₁₀ = 10·11/2 = 55
Trik 2: Sparivanje članova
Ako trebaš zbrojiti 2 + 4 + 6 + 8 + 10:
(2 + 10) + (4 + 8) + 6 = 12 + 12 + 6 = 30
Trik 3: Dijeljenje na faktore
Ako računaš 5 · 37, rastavi:
5 · 37 = 5 · (30 + 7) = 150 + 35 = 185
Trik 4: Koristiti prosjek
Zbroj niza = (prvi + zadnji)/2 · n
To je intuitivnija verzija formule.
Najčešće Greške i Kako Ih Izbjeći
Zaboravljanje (n – 1) Umjesto n u Formuli
Najčešća greška.
Učenici pišu:
aₙ = a₁ + n·d (POGREŠNO)
Umjesto:
aₙ = a₁ + (n – 1)d (TOČNO)
Zašto? Jer od prvog do n-tog člana napraviš n – 1 koraka, ne n.
Podsjetnik: Ako ideš od prvog do drugog kata, pređeš jednu etažu (2 – 1 = 1).
Kako izbjeći:
Uvijek piši formulu s (n – 1), pa onda uvrštavaj brojeve.
Miješanje Formule za Član i Zbroj
Formula za član:
aₙ = a₁ + (n – 1)d
Formula za zbroj:
Sₙ = n/2 (a₁ + aₙ)
Neki učenici pomješaju, koriste formulu za član kad traže zbroj i obrnuto.
Kako izbjeći:
Zapiši što tražiš:
- Ako tražiš jedan član → koristi aₙ
- Ako tražiš zbroj → koristi Sₙ
Pogrešno Određivanje Diferencije
Greška: računaš diferenciju kao a₁ – a₂ umjesto a₂ – a₁.
Diferencija je uvijek:
d = kasniji član – raniji član
Ako je niz 10, 7, 4…
d = 7 – 10 = -3 (ne +3)
Kako izbjeći:
Uvijek oduzimaj po redoslijedu: drugi minus prvi, treći minus drugi, itd.
Vježbe za Samostalan Rad s Rješenjima
Osnovni Zadaci za Ponavljanje
Zadatak 1:
Pronađi peti član niza: 2, 5, 8, 11…
Rješenje:
a₁ = 2, d = 3, n = 5
a₅ = 2 + (5 – 1)·3 = 2 + 12 = 14
Zadatak 2:
Koja je diferencija niza: 50, 42, 34, 26?
Rješenje:
d = 42 – 50 = -8
Zadatak 3:
Zbroji prvih 4 člana niza: 3, 7, 11, 15.
Rješenje:
a₁ = 3, a₄ = 15, n = 4
S₄ = 4/2 (3 + 15) = 2 · 18 = 36
Zadaci Srednje Težine
Zadatak 4:
Pronaći a₁ ako je a₅ = 29 i d = 6.
Rješenje:
a₅ = a₁ + 4d
29 = a₁ + 4·6
29 = a₁ + 24
a₁ = 5
Zadatak 5:
Zbroj prvih n članova niza 4, 7, 10… je 155. Koliko članova?
Rješenje:
a₁ = 4, d = 3
Sₙ = n/2 [2·4 + (n – 1)·3] = 155
n/2 [8 + 3n – 3] = 155
n/2 [5 + 3n] = 155
n(5 + 3n) = 310
5n + 3n² = 310
3n² + 5n – 310 = 0
Rješavanjem:
n = (-5 ± √(25 + 3720))/6 = (-5 ± √3745)/6
√3745 ≈ 61.2
n ≈ (−5 + 61.2)/6 ≈ 9.37
Provjera za n = 10:
S₁₀ = 10/2 [8 + 9·3] = 5·35 = 175 (previše)
Provjera za n = 9:
S₉ = 9/2 [8 + 8·3] = 4.5·32 = 144 (malo manje)
Znači da u zadatku možda ima greška, provjeri postavku.
Zadatak 6:
Ako je a₂ = 8 i a₆ = 20, pronađi a₁ i d.
Rješenje:
a₂ = a₁ + d = 8
a₆ = a₁ + 5d = 20
Oduzmi:
(a₁ + 5d) – (a₁ + d) = 20 – 8
4d = 12
d = 3
Uvrsti:
a₁ + 3 = 8
a₁ = 5
Izazovni Zadaci za Najbolje Učenike
Zadatak 7:
U aritmetičkom nizu suma trećeg i sedmog člana je 50, a proizvod prvog i petog člana je 117. Pronađi niz.
Rješenje:
a₃ + a₇ = 50
a₁·a₅ = 117
a₃ = a₁ + 2d
a₇ = a₁ + 6d
(a₁ + 2d) + (a₁ + 6d) = 50
2a₁ + 8d = 50
a₁ + 4d = 25 …(1)
a₅ = a₁ + 4d = 25
Dakle:
a₁ · 25 = 117
a₁ = 117/25 = 4.68
Provjera, ako je decimalan, možda greška u zadatku.
Ali nastavimo:
Iz (1): a₁ + 4d = 25 → 4.68 + 4d = 25 → 4d = 20.32 → d = 5.08
Niz bi bio: 4.68, 9.76, 14.84…
To je moguće, ali neobično za tipičan zadatak.
Zadatak 8:
Pronaći broj članova niza 100, 95, 90, … čiji je zbroj 0.
Rješenje:
a₁ = 100, d = -5
Sₙ = n/2 [2·100 + (n – 1)·(-5)] = 0
n/2 [200 – 5n + 5] = 0
n [205 – 5n] = 0
n ≠ 0, dakle:
205 – 5n = 0
5n = 205
n = 41
Znači suma prvih 41 člana je nula, jer negativni članovi poništavaju pozitivne.
